如何模拟功能数据？

我正在尝试测试各种功能数据分析方法。理想情况下，我想测试关于模拟功能数据的方法。我试图使用一种基于求和高斯噪声（以下代码）的方法来生成模拟FD，但与真实物体相比，所得曲线看起来过于坚固。

我想知道是否有人指向函数/思想以生成更逼真的模拟功能数据。特别地，这些应该是平滑的。我是该领域的新手，欢迎任何建议。

library("MASS")
library("caTools")
VCM<-function(cont,theta=0.99){
    Sigma<-matrix(rep(0,length(cont)^2),nrow=length(cont))
    for(i in 1:nrow(Sigma)){
        for (j in 1:ncol(Sigma)) Sigma[i,j]<-theta^(abs(cont[i]-cont[j]))
    }
    return(Sigma)
}


t1<-1:120
CVC<-runmean(cumsum(rnorm(length(t1))),k=10)
VMC<-VCM(cont=t1,theta=0.99)
sig<-runif(ncol(VMC))
VMC<-diag(sig)%*%VMC%*%diag(sig)
DTA<-mvrnorm(100,rep(0,ncol(VMC)),VMC)  

DTA<-sweep(DTA,2,CVC)
DTA<-apply(DTA,2,runmean,k=5)
matplot(t(DTA),type="l",col=1,lty=1)

r simulation functional-data-analysis

— 用户603
source

您不能只模拟均值是已知平滑函数的数据并添加随机噪声吗？例如，x=seq(0,2*pi,length=1000); plot(sin(x)+rnorm(1000)/10,type="l");

— Macro

@Macro：不，如果您放大绘图，将会看到它生成的功能不平滑。将它们与这些幻灯片上的某些曲线进行比较：bscb.cornell.edu/~hooker/FDA2007/Lecture1.pdf。x的平滑样条可以解决问题，但我正在寻找一种直接的方法来生成数据。

— user603 2012年

每当您包含噪声（这是任何随机模型的必要组成部分）时，原始数据本来就不会很平滑。您所指的样条拟合假设信号是平滑的-而不是实际观察到的数据（信号和噪声的组合）。

— Macro

@Macro：将您模拟的过程与本文档第16页的过程进行比较：inference.phy.cam.ac.uk/mackay/gpB.pdf

— user603 2012年

使用高阶多项式。具有随机系数（具有正确的分布）的20度多项式可以相当（平滑地）改变方向。如果找到问题的答案，也许可以将其发布为答案？

— 2012年

Answers:

看一下如何模拟高斯过程（GP）的实现。实现的平滑度取决于GP协方差函数的分析属性。这本在线书籍有很多信息：http : //uncertainty.stat.cmu.edu/

该视频很好地介绍了GP：http：//videolectures.net/gpip06_mackay_gpb/

PS关于您的评论，此代码可以帮助您入门。

library(MASS)
C <- function(x, y) 0.01 * exp(-10000 * (x - y)^2) # covariance function
M <- function(x) sin(x) # mean function
t <- seq(0, 1, by = 0.01) # will sample the GP at these points
k <- length(t)
m <- M(t)
S <- matrix(nrow = k, ncol = k)
for (i in 1:k) for (j in 1:k) S[i, j] = C(t[i], t[j])
z <- mvrnorm(1, m, S)
plot(t, z)

— 禅
source

您是否有一个链接专门解决如何模拟高斯过程的实现的问题？这本书没有讲到（看一下索引）。

— user603 2012年

GP的仿真是通过有限的尺寸分布进行的。基本上，您可以选择任意数量的域点，然后从GP的均值和协方差函数中获得多元法线。从该多元法线采样可以为您提供选定点处GP的实现值。正如我已经说过的，只要GP的协方差函数满足必要的分析条件，这些值就近似为平滑函数。二次指数协方差函数（带有“抖动”项）是一个很好的开始。

— 2012年

$\{x_i,y_i\}$

require("MASS")
calcSigma<-function(X1,X2,l=1){
    Sigma<-matrix(rep(0,length(X1)*length(X2)),nrow=length(X1))
    for(i in 1:nrow(Sigma)){
        for (j in 1:ncol(Sigma)) Sigma[i,j]<-exp(-1/2*(abs(X1[i]-X2[j])/l)^2)
    }
    return(Sigma)
}
# The standard deviation of the noise
n.samples<-50
n.draws<-50
x.star<-seq(-5,5,len=n.draws)
nval<-3
f<-data.frame(x=seq(-5,5,l=nval),y=rnorm(nval,0,10))
sigma.n<-0.2
# Recalculate the mean and covariance functions
k.xx<-calcSigma(f$x,f$x)
k.xxs<-calcSigma(f$x,x.star)
k.xsx<-calcSigma(x.star,f$x)
k.xsxs<-calcSigma(x.star,x.star)
f.bar.star<-k.xsx%*%solve(k.xx+sigma.n^2*diag(1,ncol(k.xx)))%*%f$y
cov.f.star<-k.xsxs-k.xsx%*%solve(k.xx+sigma.n^2*diag(1,ncol(k.xx)))%*%k.xxs
values<-matrix(rep(0,length(x.star)*n.samples),ncol=n.samples)
for (i in 1:n.samples)  values[,i]<-mvrnorm(1,f.bar.star,cov.f.star)
values<-cbind(x=x.star,as.data.frame(values))
matplot(x=values[,1],y=values[,-1],lty=1,type="l",col="black")
lines(x.star,f.bar.star,col="red",lwd=2)

试用。功能流畅

— 用户603
source

看起来不错！

— 2012年