不

不暗示和独立性？ $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

我只熟悉以下和之间的独立性定义。 $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y ）

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— 偷窃
source

您需要，而不仅仅是

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

让我们从直觉开始。对于任何函数，对的普通最小二乘回归的斜率与和的协方差成比例。假设所有回归都为零（而不仅仅是线性回归）。如果您想像由点云（确实是概率密度云）表示，那么无论您如何垂直分割切片并重新排列切片（执行映射 $Y$ $h(X)$ $h$ $h(X)$ $Y$ $(X,Y)$ $h$ ），回归保持为零。这意味着的条件期望（它们是回归函数）都是恒定的。我们可以在保持期望不变的情况下处理条件分布，从而破坏任何独立的机会。因此，我们应该期望结论并不总是成立。 $Y$

有简单的反例。 考虑九个抽象元素的样品空间，并用概率离散量度来确定由

Ω = {ω_{一世 ， Ĵ} ∣ - 1个 \leq 一世 ， Ĵ ， \leq 1个}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$

P （ ω_{0 ， 0} ） = 0; P （ ω_{0 ， Ĵ} ） = 1个 / 5 （ Ĵ = \pm 1个 ）; P （ ω_{一世 ， Ĵ} = 1个 / 10 ） 除此以外。

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

定义

X (ω_{i, j}) = j, Y (ω_{i, j}) = i 。

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

我们可以将这些概率显示为数组

（ \begin{matrix} 1个 & 2 & 1个 \\ 1个 & 0 & 1个 \\ 1个 & 2 & 1个 \end{matrix} ）

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

（与乘以所有条目）由值在两个方向索引。 $1/10$ $-1,0,1$

边际概率和

F_{X} （ - 1个 ） = F_{X} （ 1个 ） = 3 / 10; F_{X} （ 0 ） = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$

如由阵列的列总和和行总和分别计算。由于

这些变量不是独立的。

F_{ÿ} （ - 1个 ） = F_{ÿ} （ 1个 ） = 4 / 10; F_{ÿ} （ 0 ） = 2 / 10 ，

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$

F_{X} （ 0 ） F_{ÿ} （ 0 ） = （ 4 / 10 ） （ 2 / 10 ） \neq 0 = P （ ω_{0 ， 0} ） = F_{X ÿ} （ 0 ， 0 ） ，

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$

$Y$ $X=0$ $X=\pm 1$ $Y$ $X$

$27$

— ub
source