如何估算积分的精度？

在计算机图形学中，一种非常普遍的情况是某些像素的颜色等于某些实值函数的积分。函数通常过于复杂而无法解析求解，因此我们只需要进行数值逼近即可。但是该函数的计算量通常也非常昂贵，因此我们在可计算的样本数量上受到极大的限制。（例如，您不能只是决定抽取一百万个样本并留在此处。）

通常，您要做的是在随机选择的点上评估函数，直到估计的积分变得“足够精确”为止。这使我想到了一个实际的问题：您如何估算积分的“准确性”？

更具体地说，我们有，它是由一些复杂的，缓慢的计算机算法实现的。我们要估计$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

我们可以为所需的任何x计算，但这很昂贵。因此，我们想随机选择几个x值，并在k的估计变得可接受的准确时停止。当然，要做到这一点，我们需要知道当前估计的实际准确性。$f(x)$$x$$x$$k$

我什至不确定哪种统计工具适合此类问题。但是在我看来，如果我们对f绝对一无所知，那么这个问题就无法解决。例如，如果您计算f （x ）一千次且始终为零，则估计积分将为零。但是，一无所知约˚F，它仍然可能是˚F （X ）= 1 ，000 ，000处处除非你碰巧样本点，因此您的估计是错得离谱！$f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

也许，那么，我的问题应该从“我们需要了解以便使我们估计积分的精度成为可能$f$？”开始。例如，我们经常知道不可能为负，这似乎是一个高度相关的事实...$f$

编辑：好的，所以这似乎产生了很多响应，这很好。与其单独回答每个问题，不如尝试在此处补充一些其他背景。

$f$$f$$f$$f$

$f$$f$$f$

$f$

另外，考虑到“蒙特卡洛”的出现次数，我猜这是这种集成的技术术语吗？

$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

对此的补充阅读当然是Niederreiter（1992）的专着。