您的问题的答案是“有时,但一般而言”。
为了看到这一点,让是随机变量(具有有限方差)。然后,X1,...,Xn
var(∑i=1nXi)=E⎛⎝[∑i=1nXi]2⎞⎠−[E(∑i=1nXi)]2
现在注意,如果您想一想您在手动计算时在做什么。因此,(一个1 + 。。。+ 一Ñ)⋅ (一个1 + 。。。+ 一Ñ)(∑ni=1ai)2=∑ni=1∑nj=1aiaj(a1+...+an)⋅(a1+...+an)
E⎛⎝[∑i=1nXi]2⎞⎠=E(∑i=1n∑j=1nXiXj)=∑i=1n∑j=1nE(XiXj)
同样
[E(∑i=1nXi)]2=[∑i=1nE(Xi)]2=∑i=1n∑j=1nE(Xi)E(Xj)
所以
var(∑i=1nXi)=∑i=1n∑j=1n(E(XiXj)−E(Xi)E(Xj))=∑i=1n∑j=1ncov(Xi,Xj)
根据协方差的定义
现在关于总和的方差等于总和的方差吗?:
如果变量不相关,则为:即,对于,,则cov(Xi,Xj)=0i≠j
var(∑i=1nXi)=∑i=1n∑j=1ncov(Xi,Xj)=∑i=1ncov(Xi,Xi)=∑i=1nvar(Xi)
如果变量是相关的,则不是,通常不是这样:例如,假设是两个随机变量,每个变量的方差为和,其中。然后,因此身份失败。X1,X2σ2cov(X1,X2)=ρ0<ρ<σ2var(X1+X2)=2(σ2+ρ)≠2σ2
但可能有某些示例:假设具有协方差矩阵然后X1,X2,X3
⎛⎝⎜10.4−0.60.410.2−0.60.21⎞⎠⎟
var(X1+X2+X3)=3=var(X1)+var(X2)+var(X3)
因此,如果变量不相关,则总和的方差是方差的总和,但相反通常不是正确的。