总和的方差等于方差的总和吗?


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是它(总是)诚然,

Var(i=1mXi)=i=1mVar(Xi)?

3
以下答案提供了证明。直觉可以在简单的var(x + y)情况下看到:如果x和y正相关,则两者的大小往往趋向于大/小,从而增加了总变化。如果它们是负相关的,它们将趋于彼此抵消,从而减小总变化。
阿萨德·易卜拉欣

Answers:


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您的问题的答案是“有时,但一般而言”。

为了看到这一点,让是随机变量(具有有限方差)。然后,X1,...,Xn

var(i=1nXi)=E([i=1nXi]2)[E(i=1nXi)]2

现在注意,如果您想一想您在手动计算时在做什么。因此,一个1 + + Ñ一个1 + + Ñ(i=1nai)2=i=1nj=1naiaj(a1+...+an)(a1+...+an)

E([i=1nXi]2)=E(i=1nj=1nXiXj)=i=1nj=1nE(XiXj)

同样

[E(i=1nXi)]2=[i=1nE(Xi)]2=i=1nj=1nE(Xi)E(Xj)

所以

var(i=1nXi)=i=1nj=1n(E(XiXj)E(Xi)E(Xj))=i=1nj=1ncov(Xi,Xj)

根据协方差的定义

现在关于总和的方差等于总和的方差吗?

  • 如果变量不相关,则为:即,对于,,则cov(Xi,Xj)=0ij

    var(i=1nXi)=i=1nj=1ncov(Xi,Xj)=i=1ncov(Xi,Xi)=i=1nvar(Xi)
  • 如果变量是相关的,则不是,通常不是这样:例如,假设是两个随机变量,每个变量的方差为和,其中。然后,因此身份失败。X1,X2σ2cov(X1,X2)=ρ0<ρ<σ2var(X1+X2)=2(σ2+ρ)2σ2

  • 但可能有某些示例:假设具有协方差矩阵然后X1,X2,X3

    (10.40.60.410.20.60.21)
    var(X1+X2+X3)=3=var(X1)+var(X2)+var(X3)

因此,如果变量不相关,则总和的方差是方差的总和,但相反通常不是正确的。


关于示例协方差矩阵,以下正确:右上三角形和左下三角形之间的对称反映了的事实,但是对称在左上角和右下角之间(在这种情况下,只是示例的一部分,但可以用两个不同的值替换总和为数字,例如和?再次感谢cov(Xi,Xj)=cov(Xj,Xi)cov(X1,X2)=cov(X2,X3)=0.30.6cov(X1,X2)=acov(X2,X,3)=0.6a
2012年

41

Var(i=1mXi)=i=1mVar(Xi)+2i<jCov(Xi,Xj).

因此,如果协方差平均为(如果变量成对不相关或独立,则可能是结果),那么总和的方差就是方差之和。0

一个不正确的示例:让。令。然后。Var(X1)=1X2=X1Var(X1+X2)=Var(2X1)=4


样本方差很少会如此。
DWin 2012年

1
@DWin,“稀有”是轻描淡写的-如果连续分布,则总和的样本方差等于样本方差的总和恰好为0的概率:)X
Macro

15

我只是想添加Macro给出的更为简洁的证明版本,因此更容易看到正在发生的事情。

注意,由于Var(X)=Cov(X,X)

对于任意两个随机变量我们有:X,Y

XYEXY=EXEYVarX+Y=VarX+Var

Var(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)=E((X+Y)2)E(X+Y)E(X+Y)by expanding,=E(X2)(E(X))2+E(Y2)(E(Y))2+2(E(XY)E(X)E(Y))=Var(X)+Var(Y)+2(E(XY))E(X)E(Y))
因此,通常,两个随机变量之和的方差不是方差之和。但是,如果是独立的,则,我们有。X,YE(XY)=E(X)E(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

注意,我们可以通过一个简单的归纳法得出随机变量之和的结果。n


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