线性相关和线性相关之间有什么区别？

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请说明两个变量线性相关或线性相关之间的区别是什么。

我查阅了维基百科的文章，但没有找到合适的例子。请举例说明。

correlation non-independent

— 米塔尔
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如果一个变量可以写成另一个变量的线性函数，则两个变量是线性相关的。如果两个变量线性相关，则它们之间的相关性为1或-1。线性相关只是意味着两个变量具有非零相关性，但不一定具有精确的线性关系。相关性有时称为线性相关性，因为Pearson乘积矩相关性系数是变量之间关系中线性强度的量度。

— 迈克尔·R·切尼克
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+1。不过，我宁愿说皮尔逊（Pearson）骨灰。“是衡量线性关系强度的标准”，而不是is a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns听起来不错。

— Michael R. Chernick 2012年

也许比更好，因为我们不需要麻烦接近这意味着强线性关系（尽管具有负斜率）。另外，请考虑解释了多少方差与无法解释的方差，并且不会激发统计学家转动手推车并倒立以示庆祝，而是正面（可读，可发布）结果的更好证据。

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate 2012年

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在线性相关性意味着一个向量是另一个向量的线性函数：这是一个从这个定义，这两个变量会在锁步移动，意味着相关明确的或取决于值。但是，为了更全面地理解概念之间的区别和联系，我认为考虑所涉及的几何形状是有益的。 $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

下图显示了线性相关性公式的示例。您可以看到向量是线性相关的，因为一个只是另一个的倍数。在此处输入图片说明

这与线性独立性相反，线性独立性在中由以下描述：对于向量下图显示了线性独立性的示例。 $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ 在此处输入图片说明

线性独立性的最极端形式是正交性，它针对向量为：在绘制时，正交性对应于向量和彼此垂直： $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

在此处输入图片说明

现在，考虑Pearson的相关系数：

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

请注意，如果向量和是正交的，则皮尔逊系数的分子为零，这意味着变量和是不相关的。这说明了线性独立性和相关性之间的有趣联系：变量和的居中版本之间的线性相关性对应于或的相关，非和的居中版本之间的正交线性独立性 $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ 对应于绝对值介于和之间的相关性，并且和的居中版本之间的正交性对应于。 $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

因此，如果两个向量是线性相关的，则向量的居中版本也将是线性相关的，即，向量是完美相关的。当两个线性独立矢量（正交或不正交）居中时，矢量之间的角度可能会或可能不会更改。因此，对于线性独立的矢量，相关性可以为正，负或零。

— 特奈尔
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0

令f（x）和g（x）为函数。

为了使f（x）和g（x）线性独立，我们必须具有

当且仅当a = b = 0时，a * f（x）+ b * g（x）= 0。

换句话说，没有c使得a或b不为零，而是

a * f（c）+ b * g（c）= 0

如果存在这样的交流电，那么我们说f（x）和g（x）是线性相关的。

例如

f（x）= sin（x）和g（x）= cos（x）线性独立

f（x）= sin（x）和g（x）= sin（2x）不线性相关（为什么？）

— 用户名
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使用在那里使用的定义，可以有一个，使得；它们仅线性相关，如果它发生在所考虑的域中的所有上；例如，考虑第二个示例，其中。（此外，我认为您的第一个示例存在问题）

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b-恢复莫妮卡