伽玛随机变量对数的偏度

考虑伽玛随机变量。对于均值，方差和偏度，有一些简洁的公式： $X\sim\Gamma(\alpha, \theta)$

\begin{aligned} E [X] & = α θ \\ Var [X] & = α θ^{2} = 1 / α \cdot E [X]^{2} \\ Skewness [X] & = 2 / \sqrt{α} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X]&=\alpha\theta\\ \operatorname{Var}[X]&=\alpha\theta^2=1/\alpha\cdot\mathbb E[X]^2\\ \operatorname{Skewness}[X]&=2/\sqrt{\alpha} \end{align}$

现在考虑对数转换后的随机变量。维基百科给出了均值和方差的公式： $Y=\log(X)$

\begin{aligned} E [Y] & = ψ (α) + \log (θ) \\ Var [Y] & = ψ_{1} (α) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[Y]&=\psi(\alpha)+\log(\theta)\\ \operatorname{Var}[Y]&=\psi_1(\alpha)\\ \end{align}$

通过digamma和trigamma函数定义为γ函数对数的一阶和二阶导数。

偏度的公式是什么？

会出现四伽马功能吗？

（让我对此感到疑惑的是在对数正态分布和伽马分布之间进行选择，请参阅Gamma与对数正态分布。在其他方面，它们的偏度属性有所不同。特别是，对数正态的对数偏度几乎等于零。伽玛对数的偏度为负。但是如何为负？

gamma-distribution skewness logarithm

— 变形虫说恢复莫妮卡
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请问这帮助？还是这个？

— S. Kolassa-恢复莫妮卡

我不太确定什么是对数伽玛分布。如果它与伽马相关，因为对数正态与正态有关，那么我在问其他问题（因为“对数正态”令人困惑，是exp（正态）的分布而不是log（正态）。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

@Glen_b：说实话，我想称法线的指数为“对数法线”会更加不一致和令人困惑。虽然，不幸的是，已经建立了。

— S. Kolassa-恢复莫妮卡

@Stephan另请参阅对数物流，对数Cauchy，对数Laplace等。与相反的

— 概念

是的由于这个原因，我一直小心不要在与该分布有关的任何地方说“ log-gamma”。（我过去一直以与对数正态一致的方式使用它）

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica

Answers:

此刻生成函数的是在这种情况下有帮助的，因为它具有简单的代数形式。根据mgf的定义，我们有 $M(t)$ $Y=\ln X$

\begin{aligned} M (t) & = E [e^{t \ln X}] = E [X^{t}] \\ = \frac{1}{Γ (α) θ^{α}} \int_{0}^{\infty} x^{α + t - 1} e^{- x / θ} d x \\ = \frac{θ^{t}}{Γ (α)} \int_{0}^{\infty} y^{α + t - 1} e^{- y} d y \\ = \frac{θ^{t} Γ (α + t)}{Γ (α)} . \end{aligned}

$\begin{aligned}M(t)&=\operatorname{E}[e^{t\ln X}]=\operatorname{E}[X^t]\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha}\int_0^\infty x^{\alpha+t-1}e^{-x/\theta}\,dx\\ &=\frac{\theta^{t}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty y^{\alpha+t-1}e^{-y}\,dy\\ &=\frac{\theta^t\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}.\end{aligned}$

让我们验证您的期望和方差。取导数，我们有和因此，然后是

M^{'} (t) = \frac{Γ^{'} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} + \frac{Γ (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln (θ)

$M'(t)=\frac{\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)$

M^{″} (t) = \frac{Γ^{″} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} + \frac{2 Γ^{'} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln (θ) + \frac{Γ (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln^{2} (θ) .

$M''(t)=\frac{\Gamma''(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{2\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln^2(\theta).$

E [Y] = ψ^{(0)} (α) + \ln (θ), E [Y^{2}] = \frac{Γ^{″} (α)}{Γ (α)} + 2 ψ^{(0)} (α) \ln (θ) + \ln^{2} (θ) .

$\operatorname{E}[Y]=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta),\qquad\operatorname{E}[Y^2]=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+2\psi^{(0)}(\alpha)\ln(\theta)+\ln^2(\theta).$

Var (Y) = E [Y^{2}] - E [Y]^{2} = \frac{Γ^{″} (α)}{Γ (α)} - {(\frac{Γ^{'} (α)}{Γ (α)})}^{2} = ψ^{(1)} (α) .

$\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}[Y^2]-\operatorname{E}[Y]^2=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}-\left(\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\right)^2=\psi^{(1)}(\alpha).$

要查找偏斜度，请注意累积量生成函数（感谢尖端的@probabilityislogic）为因此，第一个累积量就是。回想，因此后续累积量为，。因此偏度为

K (t) = \ln M (t) = t \ln θ + \ln Γ (α + t) - \ln Γ (α) .

$K(t)=\ln M(t)=t\ln\theta+\ln\Gamma(\alpha+t)-\ln\Gamma(\alpha).$

K^{'} (0) = ψ^{(0)} (α) + \ln (θ)

$K'(0)=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta)$

ψ^{(n)} (x) = d^{n + 1} \ln Γ (x) / d x^{n + 1}

$\psi^{(n)}(x)=d^{n+1}\ln\Gamma(x)/dx^{n+1}$

K^{(n)} (0) = ψ^{(n - 1)} (α)

$K^{(n)}(0)=\psi^{(n-1)}(\alpha)$

n \geq 2

$n\geq2$

\frac{E [(Y - E [Y])^{3}]}{Var (Y)^{3 / 2}} = \frac{ψ^{(2)} (α)}{[ψ^{(1)} (α)]^{3 / 2}} .

$\frac{\operatorname{E}[(Y-\operatorname{E}[Y])^3]}{\operatorname{Var}(Y)^{3/2}}=\frac{\psi^{(2)}(\alpha)}{[\psi^{(1)}(\alpha)]^{3/2}}.$

作为附带说明，AC Olshen在“ Pearson III型分布的转换”中似乎已经对该特定分布进行了彻底研究，Johnson等人的“ 连续单变量分布”也对此做了很小的论述。看看那些。

— 弗朗西斯
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您应该区分而不是因为它是累积量生成函数-与中心矩更直接相关-其中是多伽玛函数

K (t) = \log [M (t)] = t \log [θ] + \log [Γ (α + t)] - \log [Γ (α)]

$K (t)=\log [M (t)]=t\log [\theta]+\log [\Gamma (\alpha+t)]-\log [\Gamma (\alpha)]$

M (t)

$M (t)$

s k e w = K^{(3)} (0) = ψ^{(2)} (α)

$skew=K^{(3)}(0)=\psi^{(2)}(\alpha)$

ψ^{(n)} (z)

$\psi^{(n)}(z)$

— 概率

@probabilityislogic：非常好的电话，改变了我的答案

— 弗朗西斯

@probabilityislogic这是一个很好的补充，非常感谢。我只想指出，以免有些读者感到困惑，偏斜度不是由第三累积量直接给出的：这是第三标准时刻，而不是第三中心时刻。弗朗西斯的回答是正确的，但您评论中的最后一个公式不太正确。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

一，直接计算

Gradshteyn＆Ryzhik [1]（第4.358，第7版）列表的显式封闭形成用于为而情况是在4.352中完成的（假设您将和函数中的表达式视为闭合形式）–从中可以肯定地得出峰度；他们将所有的积分作为伽马函数的导数给出，因此推测更高是可行的。因此偏斜当然是可行的，但并不是特别“整洁”。

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$

在[2]中详细介绍了4.358中公式的推导过程。我将引用那里给出的公式，因为它们更加简洁明了，并将4.352.1设置为相同的形式。

令。然后： $\delta= \psi(a)-\ln \mu$

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ} \\ \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln^{2} x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ^{2} + ζ (2, a)} \\ \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln^{3} x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ^{3} + 3 ζ (2, a) δ - 2 ζ (3, a)} \\ \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln^{4} x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ^{4} + 6 ζ (2, a) δ^{2} - 8 ζ (3, a) δ + 3 ζ^{2} (2, a) + 6 ζ (4, a))} \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^2\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^2+\zeta(2,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^3\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^3+3\zeta(2,a)\delta-2\zeta(3,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^4\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^4+6\zeta(2,a)\delta^2-8\zeta(3,a)\delta + 3\zeta^2(2,a)+6\zeta(4,a)) \right\} \end{align}$

其中是Hurwitz zeta函数（Riemann zeta函数是特殊情况）。 $\zeta(z,q)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q)^z}$ $q=1$

现在来看伽玛随机变量的对数时刻。

首先要注意的是，在对数刻度上，伽马密度的刻度或速率参数仅仅是一个偏移参数，因此对中心矩没有影响。我们可以将我们曾经使用的任何一个都设为1。

如果则 $X\sim \text{Gamma}(\alpha,1)$

E (\log^{p} X) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{\infty} \log^{p} x x^{α - 1} e^{- x} d x .

$E(\log^{p}\!X) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty \log^{p}\!x\, x^{\alpha-1} e^{-x} \,dx.$

我们可以在上述积分公式中设置，这给了我们原始的时刻。我们有，，，。 $\mu=1$ $E(Y)$ $E(Y^2)$ $E(Y^3)$ $E(Y^4)$

由于我们从上面消除了，因此不必担心混淆，我们现在可以自由地重用来表示第个中心矩。然后，我们可以通过通常的公式从原始弯矩中获得中心弯矩。 $\mu$ $\mu_k$ $k$

然后，我们可以获得和的偏度和峰度。 $\frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}$ $\frac{\mu_4}{\mu_2^{2}}$

术语说明

似乎Wolfram的参考页使用polygamma函数来写此分布的时刻（它们称为ExpGamma分布）。

相比之下，Chan（见下文）将其称为对数伽马分布。

二。通过MGF的Chan公式

Chan（1993）[3]给出mgf为非常整齐的。 $\Gamma(\alpha+t)/\Gamma(\alpha)$

（使用简单的事实的mgf 只是，这在Francis的答案中给出了一个非常好的推论。） $\log(X)$ $E(X^t)$

因此，这些时刻具有相当简单的形式。陈给：

E (Y) = ψ (α)

$E(Y)=\psi(\alpha)$

和中心时刻为

\begin{aligned} E (Y - μ_{Y})^{2} & = ψ^{'} (α) \\ E (Y - μ_{Y})^{3} & = ψ^{″} (α) \\ E (Y - μ_{Y})^{4} & = ψ^{‴} (α) \end{aligned}

$\begin{align} E(Y-\mu_Y)^2 &= \psi'(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^3 &= \psi''(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^4 &= \psi'''(\alpha) \end{align}$

因此偏度为，峰度为。大概我上面的较早公式可以简化为这些公式。 $\psi''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{3/2})$ $\psi'''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{2})$

方便地，R提供了digamma（）和trigamma（）函数以及更通用的polygamma函数，您可以在其中选择导数的阶数。（许多其他程序提供类似的便捷功能。） $\psi$ $\psi'$

因此，我们可以直接在R中直接计算偏度和峰度：

skew.eg <- function(a) psigamma(a,2)/psigamma(a,1)^(3/2)
kurt.eg <- function(a) psigamma(a,3)/psigamma(a,1)^2

尝试一些值a（上面的），我们在Chan [3]的2.2节的末尾重现了该表的前几行，除了该表中的峰度值应该是多余的峰度，但是我只是根据Chan给出的公式计算峰度；这些应该相差3。 $\alpha$

（例如，对于日志的指数的，该表表示，过量峰度是2.4，但公式就是 ...，这是 2.4。） $\beta_2$ $\psi'''(1)/\psi'(1)^2$

仿真证实，随着我们增加样本量，指数对数的峰度收敛到5.4左右而不是2.4。看来论文可能有误。

因此，Chan的中心矩公式似乎实际上是累积量的公式（请参见弗朗西斯答案的推导）。这将意味着偏度公式按原样是正确的；因为第二和第三累积量等于第二和第三中心矩。

不过，只要我们牢记会导致kurt.eg峰度过高，这些公式就特别方便。

参考文献

[1] Gradshteyn，IS和Ryzhik IM（2007），《积分表，系列和产品》，第7版。
学术出版社

[2] Victor H. Moll（2007）
Gradshteyn和Ryzhik中的积分，第4部分：伽马函数SCIENTIA
系列A：数学科学，第1卷。
15、37–46智利瓦尔帕莱索圣玛丽亚大学费德里科大学
http://129.81.170.14/~vhm/FORM-PROOFS_html/final4.pdf

[3] Chan，PS（1993年），
对数伽马分布的统计研究，
麦克马斯特大学（博士学位论文）
https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/6816/1/fulltext.pdf

— Glen_b-恢复莫妮卡
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凉。非常感谢！根据斯蒂芬链接到上面的百科全书条目，关于偏斜度的最终答案是（几乎可以看作是“整洁”！）。因此，似乎所有可怕的zeta都必须取消。

ψ^{″} (α) / ψ^{'} (α)^{3 / 2}

$\psi''(\alpha)/\psi'(\alpha)^{3/2}$

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

抱歉，现在才看到您的评论（我已经编辑了大约一个小时左右）；没错，尽管如果百科全书像陈在论文中那样给出峰度，那似乎是错误的（如上所述），但很容易纠正。简洁的公式似乎是针对累积量而不是标准化的中心矩。

— Glen_b-恢复莫妮卡

是的，百科全书确实为峰度给出了相同的公式。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

嗯，我的意思是指通常表示为和。我会解决。

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}

$\gamma_2$

— Glen_b-恢复莫妮卡的时间

我可能应该补充一点，Hurwitz zeta函数可以用多伽马函数表示，反之亦然：因此，@ amoeba问题“四伽马函数会出现吗？”的答案。是是的。

ψ^{(n)} (z) = (- 1)^{n + 1} Γ (n + 1) ζ (n + 1, z)

$\psi^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,\Gamma(n+1)\,\zeta(n+1,z)$

— JM不是统计学家