更高的是或

9

因此，我进行了概率测试，但我无法真正回答这个问题。它只是问这样的事情：

“考虑到是一个随机变量，请使用正确的不等式证明或等于或更高。 $X$ $X$ $\geqslant$ $0$ $E(X^2)^3$ $E(X^3)^2$

我唯一能想到的就是詹森的不平等，但我真的不知道如何在这里应用它。

probability self-study probability-inequalities

— 三色
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1

改用Holder的不等式。

— jbowman

1

请添加自学标签。

— Michael R. Chernick

2

stats.stackexchange.com/questions/244202/…上的线程概括了这个问题：只需将双方的第六个根都应用即可。

— ub

2

请在帮助中心中

— Glen_b-莫妮卡（Reonica）Monica，2017年

15

詹森不等式确实可以证明这一点。

提示：请注意，对于，函数在是凸的（在此处使用假设）。然后詹森不等式给出，对于，它是反之亦然。 $\alpha > 1$ $x^{\alpha}$ $\left[0, -\infty\right)$ $X \ge 0$

E {[Y]}^{α} \leq E [Y^{α}]

$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$

α < 1

$\alpha < 1$

现在，将变量转换为可比较的变量，然后找到相关的。 $\alpha$

— tmrlvi
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5

李雅普诺夫不等式（请参阅：Casella和Berger，统计推断4.7.6）：

对于： $1 < r < s < \infty$

E [| X |^{r}]^{\frac{1}{r}} \leq E [| X |^{s}]^{\frac{1}{s}}

$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

证明：

由Jensens对凸的不等式： $\phi(x)$ $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

考虑，然后其中 $\phi(Y) = Y^t$ $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ $Y = |X|^r$

替换： $t = \frac{s}{r}$ $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

通常，对于这意味着： $X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

— 权利扭曲
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2

假设X在[0,1]上具有均匀分布，则E（X）=，因此E（X） =和E（ X）=因此E（X） =。因此在这种情况下E（X） > E（X）。您可以概括一下还是找到反例？ $^2$ $\frac{1}{3}$ $^2$ $^3$ $\frac{1}{27}$ $^3$ $\frac{1}{4}$ $^3$ $^2$ $\frac{1}{16}$ $^3$ $^2$ $^2$ $^3$

— 迈克尔·R·切尼克
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答案很模糊。要求OP证明正确的陈述。根本没有反例。

— 雄