如何对齐/同步两个信号？

我正在做一些研究，但是一直停留在分析阶段（应该更多地关注我的统计讲座）。

我收集了两个同时发生的信号：对体积进行积分的流速和对胸部扩张的改变。我想比较这些信号，最终希望从胸部扩张信号中得出体积。但是首先我必须对齐/同步我的数据。

由于记录不是在同一时间开始，并且胸部扩展被捕获的时间更长，因此我需要在胸部扩展数据集中找到与我的体数据相对应的数据，并衡量它们的对齐程度。如果两个信号不是完全同时启动，或者不是在不同比例和不同分辨率的数据之间启动，我不太确定该如何处理。

我已经附上了这两个信号的示例（https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0As4oZTKp4RZ3dFRKaktYWEhZLXlFbFVKNmllbGVXNHc），请告诉我是否还有其他信息。

该问题询问如何确定以规则但不同的时间间隔对一个时间序列（“扩展”）滞后于另一个时间序列（“体积”）的数量。

如图所示，在这种情况下，两个系列都表现出合理的连续行为。这意味着（1）可能需要很少或不需要初始平滑，并且（2）重采样可以像线性或二次插值一样简单。由于平滑度，二次方可能会稍好一些。 重新采样后，通过最大化互相关来找到滞后，如线程所示，对于两个偏移采样数据系列，它们之间的偏移的最佳估计是什么？。

为了说明，我们可以使用问题中提供的数据，R用于伪代码。让我们从基本功能，互相关和重采样开始：

cor.cross <- function(x0, y0, i=0) {
  #
  # Sample autocorrelation at (integral) lag `i`:
  # Positive `i` compares future values of `x` to present values of `y`';
  # negative `i` compares past values of `x` to present values of `y`.
  #
  if (i < 0) {x<-y0; y<-x0; i<- -i}
  else {x<-x0; y<-y0}
  n <- length(x)
  cor(x[(i+1):n], y[1:(n-i)], use="complete.obs")
}

这是一个粗略的算法：基于FFT的计算会更快。但是对于这些数据（涉及约4000个值）来说已经足够了。

resample <- function(x,t) {
  #
  # Resample time series `x`, assumed to have unit time intervals, at time `t`.
  # Uses quadratic interpolation.
  #
  n <- length(x)
  if (n < 3) stop("First argument to resample is too short; need 3 elements.")
  i <- median(c(2, floor(t+1/2), n-1)) # Clamp `i` to the range 2..n-1
  u <- t-i
  x[i-1]*u*(u-1)/2 - x[i]*(u+1)*(u-1) + x[i+1]*u*(u+1)/2
}

我将数据下载为以逗号分隔的CSV文件，并剥离了其标题。（标头给R带来了一些我不希望诊断的问题。）

data <- read.table("f:/temp/a.csv", header=FALSE, sep=",", 
                    col.names=c("Sample","Time32Hz","Expansion","Time100Hz","Volume"))

注意： 此解决方案假定每个系列的数据均按时间顺序排列，且两个之间都没有间隔。 这样，它就可以将值中的索引用作时间的代理，并通过时间采样频率缩放这些索引，以将其转换为时间。

事实证明，这些仪器中的一个或两个都随时间漂移一些。最好在继续操作之前消除这种趋势。另外，由于结尾处的音量信号逐渐变细，因此我们应将其剪切掉。

n.clip <- 350      # Number of terminal volume values to eliminate
n <- length(data$Volume) - n.clip
indexes <- 1:n
v <- residuals(lm(data$Volume[indexes] ~ indexes))
expansion <- residuals(lm(data$Expansion[indexes] ~ indexes)

我对频率较低的序列进行重新采样，以便从结果中获得最高精度。

e.frequency <- 32  # Herz
v.frequency <- 100 # Herz
e <- sapply(1:length(v), function(t) resample(expansion, e.frequency*t/v.frequency))

现在可以计算互相关了-为了提高效率，我们只搜索一个合理的滞后窗口-并且可以确定找到最大值的滞后。

lag.max <- 5       # Seconds
lag.min <- -2      # Seconds (use 0 if expansion must lag volume)
time.range <- (lag.min*v.frequency):(lag.max*v.frequency)
data.cor <- sapply(time.range, function(i) cor.cross(e, v, i))
i <- time.range[which.max(data.cor)]
print(paste("Expansion lags volume by", i / v.frequency, "seconds."))

输出告诉我们，扩展使音量滞后1.85秒。（如果未裁剪最后3.5秒的数据，则输出将为1.84秒。）

最好以几种方式检查所有内容，最好是目视检查。首先，互相关函数：

plot(time.range * (1/v.frequency), data.cor, type="l", lwd=2,
     xlab="Lag (seconds)", ylab="Correlation")
points(i * (1/v.frequency), max(data.cor), col="Red", cex=2.5)

接下来，让我们及时记录这两个系列，并将它们绘制在相同的轴上。

normalize <- function(x) {
  #
  # Normalize vector `x` to the range 0..1.
  #
  x.max <- max(x); x.min <- min(x); dx <- x.max - x.min
  if (dx==0) dx <- 1
  (x-x.min) / dx
}
times <- (1:(n-i))* (1/v.frequency)
plot(times, normalize(e)[(i+1):n], type="l", lwd=2, 
     xlab="Time of volume measurement, seconds", ylab="Normalized values (volume is red)")
lines(times, normalize(v)[1:(n-i)], col="Red", lwd=2)

看起来不错！ 不过，我们可以通过散点图更好地了解注册质量。我会根据时间改变颜色以显示进度。

colors <- hsv(1:(n-i)/(n-i+1), .8, .8)
plot(e[(i+1):n], v[1:(n-i)], col=colors, cex = 0.7,
     xlab="Expansion (lagged)", ylab="Volume")

我们正在寻找沿着一条线来回追踪的点：变化的点反映了体积扩展的时间滞后响应中的非线性。尽管有一些变化，但它们很小。然而，这些变化如何随时间变化可能具有某些生理意义。关于统计的奇妙之处，尤其是其探索性和可视性方面，在于它如何趋向于产生好的问题和想法以及有用的答案。