生成三个相关的均匀分布的随机变量

假设我们有

X_{1} \sim unif (n, 0, 1),

$X_1 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$

X_{2} \sim unif (n, 0, 1),

$X_2 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$

其中 $\textrm{unif}(n,0,1)$ 是大小均匀的随机样本n，和

Y = X_{1},

$Y=X_1,$

Z = 0.4 X_{1} + \sqrt{1 - 0.4} X_{2} .

$Z = 0.4 X_1 + \sqrt{1 - 0.4}X_2.$

那么， $Y$ 和的相关性 $Z$ 为 $0.4$ 。

如何将其扩展到三个变量： $X_1$ ， $X_2$ ， $X_3$ ？

r correlation random-generation uniform

— 用户名
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我已对您的问题进行了编辑，以使其更易于阅读。请检查一切都OK。关于您的问题，您将在什么意义上扩展程序？关联是为两个随机变量定义的，因此我不清楚您要表达的含义。

— ocram 2012年

不是统一的，因此，如果您要概括该结果，则似乎并没有尝试生成三个相关的统一RV。你想知道如何计算之间的关系

和

？

Z

$Z$

X_{1}

$X_1$

a X_{1} + b X_{2} + c X_{3}

$aX_1+bX_2+cX_3$

— MånsT

假设我们已经

，

，和

，

。那么

和

什么？

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{3}

$X_3$

u n i f (n, 0, 1)

$~unif(n,0,1)$

Y = f (X_{2}, X_{3})

$Y=f(X_2,X_3)$

Z = f (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$Z=f(X_1,X_2,X_3)$

Y

$Y$

Z

$Z$

— user9292'7

{Distributions of correlated uniforms} \subset {Copulas}

$\{\text{Distributions of correlated uniforms}\} \subset \{\text{Copulas}\}$

— 红衣主教

为什么不参加讨论？如果X1和X2是单变量随机变量，它们不是简单地在[0,1]上统一吗？

— Michael R. Chernick

Answers:

问题包含注释中指出的几个错误-如问题中所定义，Z既不是统一的，也不具有指定的相关性。

红衣主教提到copulas，这是最普通的解决方法。但是，有几种非常简单的方法来获取相关的制服（可以看作仅仅是通向各种不同系的捷径）。

因此，让我们从一些获取一对相关制服的方法开始。

1）如果添加两个制服，则结果为三角形，而不是制服。但是您可以将结果变量的cdf用作转换，以将结果恢复为统一形式。当然，结果不再是线性相关的。

这是一个R函数，用于将（0,2）上的对称三角形转换为标准均匀

t2u = function(x) ifelse(x<1, x^2, 2-(2-x)^2)/2

让我们检查一下它是否提供了制服

u1 = runif(30000)
u2 = runif(30000)
v1 = t2u(u1+u2)

在此处输入图片说明

它与u1和u2相关：

> cor(cbind(u1,u2,v1))
            u1          u2        v1
u1 1.000000000 0.006311667 0.7035149
u2 0.006311667 1.000000000 0.7008528
v1 0.703514895 0.700852805 1.0000000

但不是线性的，因为单调变换为均匀性

在此处输入图片说明

以此为工具，我们可以生成一些其他变量来获得三种等相关的制服：

u3 = runif(30000)
v2 = t2u(u1+u3)
v3 = t2u(u2+u3)

cor(cbind(v1,v2,v3))
          v1        v2        v3
v1 1.0000000 0.4967572 0.4896972
v2 0.4967572 1.0000000 0.4934746
v3 0.4896972 0.4934746 1.0000000

v变量之间的关系如下所示：

在此处输入图片说明

第二种选择是通过混合来产生。与其将制服相加，不如将它们取为固定概率。

例如

z = ifelse(rbinom(30000,1,.7),u1,u2)

cor(cbind(u1,z))
          u1         z
u1 1.0000000 0.7081533
z  0.7081533 1.0000000

在此处输入图片说明

可以再次用来生成多个相关的制服。

第三种简单方法是生成相关的法线并转换为均匀性。

n1=rnorm(30000)
n2=rnorm(30000)
n3=rnorm(30000)
x=.6*n1+.8*n2
y=.6*n2+.8*n3
z=.6*n3+.8*n1
cor(cbind(x,y,z))

          x         y         z
x 1.0000000 0.4763703 0.4792897
y 0.4763703 1.0000000 0.4769403
z 0.4792897 0.4769403 1.0000000

所以现在我们转换为制服：

w1 = pnorm(x)
w2 = pnorm(y)
w3 = pnorm(z)
cor(cbind(w1,w2,w3))
          w1        w2        w3
w1 1.0000000 0.4606723 0.4623311
w2 0.4606723 1.0000000 0.4620257
w3 0.4623311 0.4620257 1.0000000

在此处输入图片说明

关于方法2和3的一件好事是，您可以选择多种多样的关联方式（并且不必像此处的示例一样进行关联）。

当然，还有许多其他方法，但是这些方法都是快速简便的。

棘手的部分是准确获得所需的总体相关性。它并不像您只想要相关的高斯人那样简单。Quantibex在“ 生成均匀分布和相关的随机数对”中的答案给出了一种方法，该方法修改了我在此处的第三种方法，该方法应该给出所需的总体相关性。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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Glen_b。谢谢，非常漂亮有趣的答案！

— user9292

我不明白第三种方法中0.6和0.8的来源。

— manuel

ρ

$\rho$

ρ N_{i} + \sqrt{1 - ρ^{2}} N_{j}

$\rho N_i + \sqrt{1-\rho^2} N_j$

N_{i}

$N_i$

N_{j}

$N_j$

ρ

$\rho$

N_{i}

$N_i$

\sqrt{1 - ρ^{2}}

$\sqrt{1-\rho^2}$

N_{j}

$N_j$

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

$X_1,X_2$ $Z$ $X_1$ $0.4$ $0.4$ $Y$ $Y = 0.4X_1+\sqrt{1-(0.4)^2}X_2$

$\rho$ $\cos$ $2$ $3$ $\cos$ $0$

这应该使您开始将序列分解为其分量，就像将向量分解为其正交分量一样。

— 德米特里·鲁巴诺维奇（Dmitry Rubanovich）
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