高斯分布是Beta分布的特定情况吗？

如果查看带有 $\alpha=\beta=4$ 的beta分布，则它看起来与高斯分布非常相似。但是吗？您如何证明Beta（4,4）分布是否为高斯分布？

normal-distribution beta-distribution

— 用户名
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他们的支持是如此不同。

— Deep North

@DeepNorth-您是否建议高斯分布不是特定的Beta分布？

— user1068636

不仅仅是建议；如果支持不同，它们就不可能是相同的分布。

— Glen_b-恢复莫妮卡的时间

它们都是对称的，或多或少是钟形的，但是对称的beta（无论是4,4还是任何其他特定值）实际上不是高斯。即使不查看密度也可以告诉您-Beta分布为（0,1）而所有高斯分布为 $(-\infty,\infty)$

让我们更仔细地看一下比较。我们将对beta（4,4）进行标准化，使其平均值为0，标准差为1（标准化beta），然后看一下密度与标准高斯的比较：

标准化的beta（4,4）限制在-3和3之间（标准的高斯可以取任何值）；它的峰值也比高斯少，并且在平均值的任一侧都有大约1左右的标准偏差的更圆的“肩”。其峰度为27/11（ 2.45，而高斯为3）。 $\approx$

参数值较大的对称beta分布更接近于高斯分布。

当参数接近无穷大时，标准化的对称β接近标准正态分布（此处为示例证明）。

因此，对称beta的特定情况没有是高斯的，但是适当标准化的beta的极限情况是高斯的。通过查看由高斯分位数函数转换的beta的cdf，我们可以更轻松地看到这种方法。在此尺度上，高斯将位于线上，而对称的β族将随着参数变得越来越大而接近线。 $y=x$ $y=x$

在下面的图中，我们查看了线的偏差，以便更清楚地看到随着增加，beta（，）接近高斯的方法。 $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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您不一定必须标准化Beta随机变量以使方差恰好为；例如，学生随机变量没有方差。如果不是有效地说那么随着增加，您可以放弃并说随着增加，您会更好地适应分布的中心

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

— 亨利