使用glm（）代替简单的卡方检验

我有兴趣更改glm()R中使用的原假设。

例如：

x = rbinom(100, 1, .7)  
summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))

检验的假设$p = 0.5$。如果我想将null更改为$p$ =某个任意值，该glm()怎么办？

我知道也可以使用prop.test()和来完成此操作chisq.test()，但是我想探讨一下使用glm()来测试与分类数据有关的所有假设的想法。

可以使用一个偏移：glm与family="binomial"对数优势比或分对数尺度的估计参数，所以对应于对数概率的0或0.5的概率。如果要与p的概率进行比较，则希望基线值为q = logit（p ）= log （p /（1 - p ））。现在是统计模型$\beta_0=0$$p$$q = \textrm{logit}(p)=\log(p/(1-p))$

从标准设置仅更改了最后一行。在R代码中：

• 使用offset(q)该式中
• logit / log-odds函数是 qlogis(p)
• 有点烦人的是，您必须为响应变量中的每个元素提供一个偏移值-R不会自动为您复制一个常数值。这是通过设置数据框来完成的，但是您可以使用rep(q,100)。

x = rbinom(100, 1, .7)
dd <- data.frame(x, q = qlogis(0.7)) 
summary(glm(x ~ 1 + offset(q), data=dd, family = "binomial"))

查看您的GLM参数的置信区间：

> set.seed(1)
> x = rbinom(100, 1, .7)
> model<-glm(x ~ 1, family = "binomial")
> confint(model)
Waiting for profiling to be done...
    2.5 %    97.5 % 
0.3426412 1.1862042 

这是对数奇数的置信区间。

对于我们有log （o d d s ）= log $p=0.5$。因此，检验p=0.5的假设等同于检查置信区间是否包含0。这一假设不成立，因此该假设被拒绝。$\log(odds) = \log \frac{p}{1-p} = \log 1 = 0$$p=0.5$

现在，对于任意，您可以计算对数奇数，并检查它是否在置信区间内。$p$

基于glm.summary函数中z- / t值的p值用作假设检验是（完全）正确/不正确的。

1. 这是令人困惑的语言。报告的值称为z值。但是在这种情况下，他们使用估计的标准误差代替了真实的偏差。因此，实际上它们更接近t值。比较以下三个输出：
   1）summary.glm
   2）t检验
   3）z检验

   > set.seed(1)
   > x = rbinom(100, 1, .7)
   
   > coef1 <- summary(glm(x ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),length(x)), family = "binomial"))$coefficients
   > coef2 <- summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))$coefficients
   
   > coef1[4]  # output from summary.glm
   [1] 0.6626359
   > 2*pt(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),99,ncp=0) # manual t-test
   [1] 0.6635858
   > 2*pnorm(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),0,1) # manual z-test
   [1] 0.6626359

2. 它们不是精确的p值。使用二项式分布精确地计算p值会更好（目前具有计算能力，这不是问题）。假设误差为高斯分布，则t分布不准确（它高估了p，超过“ alpha”级别在“现实”中发生的频率较小）。请参阅以下比较：

   # trying all 100 possible outcomes if the true value is p=0.7
   px <- dbinom(0:100,100,0.7)
   p_model = rep(0,101)
   for (i in 0:100) {
     xi = c(rep(1,i),rep(0,100-i))
     model = glm(xi ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),100), family="binomial")
     p_model[i+1] = 1-summary(model)$coefficients[4]
   }
   
   
   # plotting cumulative distribution of outcomes
   outcomes <- p_model[order(p_model)]
   cdf <- cumsum(px[order(p_model)])
   plot(1-outcomes,1-cdf, 
        ylab="cumulative probability", 
        xlab= "calculated glm p-value",
        xlim=c(10^-4,1),ylim=c(10^-4,1),col=2,cex=0.5,log="xy")
   lines(c(0.00001,1),c(0.00001,1))
   for (i in 1:100) {
     lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i+1]),1-c(cdf[i+1],cdf[i+1]),col=2)
   #  lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i]),1-c(cdf[i],cdf[i+1]),col=2)
   }
   
   title("probability for rejection as function of set alpha level")

   

   黑色曲线代表平等。红色曲线在其下方。这意味着对于通过glm摘要函数计算的给定p值，我们发现这种情况（或更大的差异）在现实中的出现频率少于p值指示的情况。