如何从内核密度估计中随机得出一个值？

我有一些观察结果，我想根据这些观察结果进行抽样。这里我考虑一个非参数模型，具体地说，我使用核平滑法从有限的观察值估计CDF。然后我从获得的CDF中随机绘制值。以下是我的代码（其思想是随机获得使用均匀分布的概率，并取CDF相对于概率值的倒数）

x = [randn(100, 1); rand(100, 1)+4; rand(100, 1)+8];
[f, xi] = ksdensity(x, 'Function', 'cdf', 'NUmPoints', 300);
cdf = [xi', f'];
nbsamp = 100;
rndval = zeros(nbsamp, 1);
for i = 1:nbsamp
    p = rand;
   [~, idx] = sort(abs(cdf(:, 2) - p));
   rndval(i, 1) = cdf(idx(1), 1);
end
figure(1);
hist(x, 40)
figure(2);
hist(rndval, 40)

如代码中所示，我使用了一个综合示例来测试我的过程，但结果并不令人满意，如下面的两个图所示（第一个用于模拟观察，第二个图显示了从估计的CDF绘制的直方图） ：

有谁知道问题出在哪里吗？先感谢您。

内核密度估计器（KDE）产生的分布是内核分布的位置混合，因此要从内核密度估计中得出一个值，您需要做的就是（1）从内核密度中得出一个值，然后（2）独立地随机选择一个数据点，并将其值加到（1）的结果中。

这是此过程应用于问题中的数据集的结果。

左侧的直方图描述了样本。作为参考，黑色曲线绘制了从中抽取样品的密度。红色曲线绘制了样品的KDE（使用窄带宽）。（红色峰值比黑色峰值短是没有问题的，甚至是出乎意料的：KDE分散了所有内容，因此峰值会变得更低以进行补偿。）

右侧的直方图描绘了来自KDE的样本（大小相同）。 黑色和红色曲线与以前相同。

显然，用于从密度采样的程序起作用。它的速度也非常快：R下面的实现每秒可以从任何KDE生成数百万个值。我对它进行了评论，以协助移植到Python或其他语言。采样算法本身是通过以下代码在函数中实现rdens的

rkernel <- function(n) rnorm(n, sd=width) 
sample(x, n, replace=TRUE) + rkernel(n)  

rkernel提请n独立同分布样本内核函数，同时sample吸引n来自数据替换样本x。“ +”运算符逐个分量地添加两个样本数组。

---

$K$$F_K$$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$$F_{\mathbf{\hat{x}};\, K}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n F_K(x-x_i).$$

$X$$x_i$$1/n$$i$$Y$$X+Y$$x$$X$

$$\eqalign{ F_{X+Y}(x) &= \Pr(X+Y \le x) \\ &= \sum_{i=1}^n \Pr(X+Y \le x \mid X=x_i) \Pr(X=x_i) \\ &= \sum_{i=1}^n \Pr(x_i + Y \le x) \frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \Pr(Y \le x-x_i) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n F_K(x-x_i) \\ &= F_{\mathbf{\hat{x}};\, K}(x), }$$

如所声称的。

---

#
# Define a function to sample from the density.
# This one implements only a Gaussian kernel.
#
rdens <- function(n, density=z, data=x, kernel="gaussian") {
  width <- z$bw                              # Kernel width
  rkernel <- function(n) rnorm(n, sd=width)  # Kernel sampler
  sample(x, n, replace=TRUE) + rkernel(n)    # Here's the entire algorithm
}
#
# Create data.
# `dx` is the density function, used later for plotting.
#
n <- 100
set.seed(17)
x <- c(rnorm(n), rnorm(n, 4, 1/4), rnorm(n, 8, 1/4))
dx <- function(x) (dnorm(x) + dnorm(x, 4, 1/4) + dnorm(x, 8, 1/4))/3
#
# Compute a kernel density estimate.
# It returns a kernel width in $bw as well as $x and $y vectors for plotting.
#
z <- density(x, bw=0.15, kernel="gaussian")
#
# Sample from the KDE.
#
system.time(y <- rdens(3*n, z, x)) # Millions per second
#
# Plot the sample.
#
h.density <- hist(y, breaks=60, plot=FALSE)
#
# Plot the KDE for comparison.
#
h.sample <- hist(x, breaks=h.density$breaks, plot=FALSE)
#
# Display the plots side by side.
#
histograms <- list(Sample=h.sample, Density=h.density)
y.max <- max(h.density$density) * 1.25
par(mfrow=c(1,2))
for (s in names(histograms)) {
  h <- histograms[[s]]
  plot(h, freq=FALSE, ylim=c(0, y.max), col="#f0f0f0", border="Gray",
       main=paste("Histogram of", s))
  curve(dx(x), add=TRUE, col="Black", lwd=2, n=501) # Underlying distribution
  lines(z$x, z$y, col="Red", lwd=2)                 # KDE of data

}
par(mfrow=c(1,1))

您首先需要对CDF进行反相采样。CDF的逆称为分位数函数；它是从[0,1]到RV域的映射。然后，您将随机均匀RV采样为百分位数，并将其传递给分位数函数，以从该分布中获取随机样本。

在这里，我也想按照whuber描述的想法发布Matlab代码，以帮助那些比R更熟悉Matlab的人。

x = exprnd(3, [300, 1]);
[~, ~, bw] = ksdensity(x, 'kernel', 'normal', 'NUmPoints', 800);

k = 0.25; % control the uncertainty of generated values, the larger the k the greater the uncertainty
mstd = bw*k;
rkernel = mstd*randn(300, 1);
sampleobs = randsample(x, 300, true);
simobs = sampleobs(:) + rkernel(:);

figure(1);
subplot(1,2,1);
hist(x, 50);title('Original sample');
subplot(1,2,2);
hist(simobs, 50);title('Simulated sample');
axis tight;

结果如下：

如果有人发现我的理解和代码有任何问题，请告诉我。谢谢。

在不仔细研究您的实现的情况下，我没有完全从ICDF中提取您的索引编制程序。我认为您是从CDF中提取的，不是相反的。这是我的实现：

import sys
sys.path.insert(0, './../../../Python/helpers')
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from sklearn.neighbors import KernelDensity

def rugplot(axis,x,color='b',label='draws',shape='+',alpha=1):
    axis.plot(x,np.ones(x.shape)*0,'b'+shape,ms=20,label=label,c=color,alpha=alpha);
    #axis.set_ylim([0,max(axis.get_ylim())])

def PDF(x):
    return 0.5*(stats.norm.pdf(x,loc=6,scale=1)+ stats.norm.pdf(x,loc=18,scale=1));

def CDF(x,PDF):
    temp = np.linspace(-10,x,100)
    pdf = PDF(temp);
    return np.trapz(pdf,temp);

def iCDF(p,x,cdf):
    return np.interp(p,cdf,x);

res = 1000;
X = np.linspace(0,24,res);
P = np.linspace(0,1,res)
pdf  = np.array([PDF(x) for x in X]);#attention dont do [ for x in x] because it overrides original x value
cdf  = np.array([CDF(x,PDF) for x in X]);
icdf = [iCDF(p,X,cdf) for p in P];

#draw pdf and cdf
f,(ax1,ax2) = plt.subplots(1,2,figsize=(18,4.5));
ax1.plot(X,pdf, '.-',label = 'pdf');
ax1.plot(X,cdf, '.-',label = 'cdf');
ax1.legend();
ax1.set_title('PDF & CDF')

#draw inverse cdf
ax2.plot(cdf,X,'.-',label  = 'inverse by swapping axis');
ax2.plot(P,icdf,'.-',label = 'inverse computed');
ax2.legend();
ax2.set_title('inverse CDF');

#draw from custom distribution
N = 100;
p_uniform = np.random.uniform(size=N)
x_data  = np.array([iCDF(p,X,cdf) for p in p_uniform]);

#visualize draws
a = plt.figure(figsize=(20,8)).gca();
rugplot(a,x_data);

#histogram
h = np.histogram(x_data,bins=24);
a.hist(x_data,bins=h[1],alpha=0.5,normed=True);