如何使用预先指定的相关矩阵生成数据？

我正在尝试生成均值=，方差=，相关系数=相关随机序列。在下面的代码中，我将＆用作标准偏差，并将＆用作均值。1 $0$$1$$0.8$s1s2m1m2

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

这使我corrcoef()在x和之间的0.8 正确y。我的问题是，如果我希望z该系列也与y（具有相同的相关性）相关但又与不相关，我该如何生成它。我需要知道一个特定的公式吗？我找到了一个，但听不懂。$r=0.8$x

看来您在询问如何使用特定的相关矩阵生成数据。

一个有用的事实是，如果您有一个带有协方差矩阵的随机向量，则该随机向量均值为和协方差矩阵。因此，如果您从均值为零的数据开始，则乘以不会改变该值，因此很容易满足您的第一个要求。 Σ 甲X 甲 ë （X）Ω = 甲 Σ 甲Ť${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$$\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

比方说，你开始（均值为零）不相关的数据（即协方差矩阵对角线） -因为我们正在谈论的相关矩阵，我们只取。您可以通过选择作为的cholesky平方根，将其转换为具有给定协方差矩阵的数据，然后将具有所需的协方差矩阵。甲 Ω 甲X$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

在您的示例中，您似乎想要这样的东西：

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

不幸的是，矩阵不是正定的，因此它不能是协方差矩阵-您可以通过查看行列式为负来检查这一点。也许吧

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

就足够了。我不确定如何在matlab中计算出cholesky平方根（这似乎是您所使用的），但是R可以使用该chol()函数。

在此示例中，对于上面列出的两个，分别是正确的矩阵倍数$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

R用于达到此目的的代码是：

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

如果使用R，还可以使用MASS软件包中的mvrnorm函数，假设您需要正态分布的变量。该实现类似于上面的Macro的描述，但是使用相关矩阵的特征向量，而不是使用奇异值分解（如果将经验选项设置为true），进行cholesky分解和缩放。

$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

$\Sigma$$X$

请注意，相关矩阵必须是正定的，但是用R中的Matrix包中的nearPD函数进行转换将很有用。

$\Sigma_y$$x$$\Sigma_x = I$$\Sigma_y$$\Lambda$$V$

$\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$

$y=Ax$