R中二项式glm中响应的输入格式

在中R，有三种方法可以使用glm函数来格式化输入数据以进行逻辑回归：

1. 对于每个观察，数据可以采用“二进制”格式（例如，对于每个观察，y = 0或1）；
2. 数据可以采用“ Wilkinson-Rogers”格式（例如y = cbind(success, failure)），每一行代表一种治疗；要么
3. 数据可以是每个观测值的加权格式（例如，y = 0.3，权重= 10）。

这三种方法均产生相同的系数估计值，但自由度以及由此产生的偏差值和AIC分数不同。后两种方法具有较少的观测值（因此也具有自由度），因为它们将每种处理用于观测值的数量，而第一种方法将每种观测值用作观测值的数量。

我的问题：使用一种输入格式比使用另一种输入格式有数字或统计优势吗？我看到的唯一好处是不必重新格式化数据R即可与模型一起使用。

我查看了glm文档，在网络上搜索了该站点，发现了一个与切向相关的帖子，但没有有关该主题的指导。

这是一个模拟示例，演示了此行为：

# Write function to help simulate data
drc4 <- function(x, b =1.0, c = 0, d = 1, e = 0){
    (d - c)/ (1 + exp(-b * (log(x)  - log(e))))
}
# simulate long form of dataset
nReps = 20
dfLong <- data.frame(dose = rep(seq(0, 10, by = 2), each = nReps))
dfLong$mortality <-rbinom(n = dim(dfLong)[1], size = 1,
                              prob = drc4(dfLong$dose, b = 2, e = 5))

# aggregate to create short form of dataset
dfShort <- aggregate(dfLong$mortality, by = list(dfLong$dose), 
                     FUN = sum)
colnames(dfShort) <- c("dose", "mortality")
dfShort$survival <- nReps - dfShort$mortality 
dfShort$nReps <- nReps
dfShort$mortalityP <- dfShort$mortality / dfShort$nReps

fitShort <- glm( cbind(mortality, survival) ~ dose, 
                 data = dfShort, 
                 family = "binomial")
summary(fitShort)

fitShortP <- glm( mortalityP ~ dose, data = dfShort, 
                  weights = nReps,     
                  family = "binomial")
summary(fitShortP)

fitLong <- glm( mortality ~ dose, data = dfLong, 
                family = "binomial")
summary(fitLong)

除了概念上的明确性之外，没有统计上的理由要选择一个。尽管报告的偏差值不同，但是这些差异完全是由于饱和模型造成的。因此，由于饱和模型的对数似然性会抵消，因此在模型之间使用相对偏差的任何比较都不会受到影响。

我认为进行显式偏差计算非常有用。

模型的偏差为2 *（LL（饱和模型）-LL（模型））。假设您有不同的像元，其中是像元的观测值数目，是像元所有观测值的模型预测，是第个观测值的观测值（0或1）在单元格。$i$$n_i$$i$$p_i$$i$$y_{ij}$$j$$i$

长表

（建议或为空）模型的对数似然为

$$\sum_i\sum_j\left(\log(p_i)y_{ij} + \log(1 - p_i)(1 - y_{ij})\right)$$

饱和模型的对数似然为这等于0，因为为0或1。注意是未定义的，但为方便起见，请阅读作为简写。，为0。

$$\sum_i\sum_j \left(\log(y_{ij})y_{ij} + \log(1 - y_{ij})(1-y_{ij})\right).$$ $y_{ij}$$\log(0)$$0\log(0)$$\lim_{x \to 0^+}x\log(x)$

简短形式（加权）

请注意，二项分布实际上不能取非整数值，但是我们仍然可以通过使用每个单元格中观察到的成功分数作为响应，并通过对数似然计算对每个求和加权来计算“对数似然”。该单元格中的观察数。

$$\sum_in_i \left(\log(p_i)\sum_jy_{ij}/n_i + \log(1 - p_i)(1 - \sum_j(y_{ij}/n_i)\right)$$

这恰好等于我们上面计算出的模型偏差，您可以通过将长形方程中的和尽可能多地来看到。$j$

同时，饱和偏差是不同的。由于我们不再具有0-1响应，因此即使每个观察值只有一个参数，我们也无法精确得到0。相反，饱和模型的对数似然为

$$\sum_i n_i\left(\log(\sum_jy_{ij}/n_i)\sum_jy_{ij}/n_i + \log(1 - \sum_jy_{ij}/n_i)(1-\sum_jy_{ij}/n_i)\right).$$

在您的示例中，您可以验证两个模型的报告的空偏差值和残差偏差值之间的差是此数量的两倍。

ni = dfShort$nReps
yavg = dfShort$mortalityP
sum.terms <-ni*(log(yavg)*yavg + log(1 - yavg)*(1 - yavg))
# Need to handle NaN when yavg is exactly 0
sum.terms[1] <- log(1 - yavg[1])*(1 - yavg[1])

2*sum(sum.terms)
fitShortP$deviance - fitLong$deviance