可能范围

假设三个时间序列，和$X_1$$X_2$$Y$

上运行的普通线性回归〜（），我们得到。普通的线性回归〜得到。假设$Y$$X_1$$Y = b X_1 + b_0 + \epsilon$$R^2 = U$$Y$$X_2$$R^2 = V$$U < V$

什么是最小和最大的可能值上回归〜（）？$R^2$$Y$$X_1 + X_2$$Y = b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_0 + \epsilon$

我相信最小应该是 +一个小值，因为添加新变量总是会增加，但是我不知道如何量化这个小值，也不知道如何获得最大范围。$R^2$$V$$R^2$

1）编辑：下面示出了基数的评论，该正确答案分钟的问题是。因此，我删除了我对OP帖子的那部分的“有趣”但最终不正确的答案。$R^2$$V$

2）最大为1。请考虑以下示例，它适合您的情况。$R^2$

x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)
y <- x1 + 2*x2

> summary(lm(y~x1))$r.squared
[1] 0.2378023                 # This is U
> summary(lm(y~x2))$r.squared
[1] 0.7917808                 # This is V; U < V
> summary(lm(y~x1+x2))$r.squared
[1] 1

在这里，我们将的方差固定为0。但是，如果您希望，则情况会有所变化。通过使越来越小，可以使任意接近1 ，但是，由于存在最小问题，您无法到达那里，因此没有最大值。1成为极值，因为它总是大于但它也是的极限。$\epsilon$$\sigma^2_\epsilon > 0$$R^2$$\sigma^2_\epsilon$$R^2$$\sigma^2_\epsilon \to 0$

令等于和之间的相关性，等于和之间的相关性，而等于和之间的相关性。则整个模型的除以等于$r_{1,2}$$X_1$$X_2$$r_{1,Y}$$X_1$$Y$$r_{2,Y}$$X_2$$Y$$R^2$$V$

所以为全模型等于仅当和或$R^2$$V$$r_{1,2} = 0$$r_{1,Y}^2 = U = 0$

如果，为全模型等于。$r_{1,2} = 0$$R^2$$U + V$

不受限制 $U$ 和 $V$，则最小值为 $V$，然后最大值是较小的 $\min(V + U, 1)$。这是因为两个可变可以完全相关（在这种情况下将所述第二变量不改变在所有的），或者它们可能是在这种情况下正交包括两个结果。在注释中正确指出，这还要求每个正交于（1s的列向量）。$R^2$$U + V$$\mathbf{1}$

您添加了约束。但是，仍然是可能的。也就是说，，在这种情况下，。最后，很有可能因此上限仍然是。$U < V \implies X_{1} \neq X_{2}$$U = 0$$X_{1} \perp Y$$\min = \max = V + 0$$X_{1} \perp X_{2}$$\min(V + U, 1)$

如果您对和之间的关系了解更多，我想您可以说更多。$X_{1}$$X_{2}$