标准误差和标准偏差之间的差异

我正在努力理解标准误差和标准偏差之间的区别。它们有什么不同？为什么需要测量标准误差？

为了完成对问题的解答，Ocram很好地解决了标准误差，但没有将其与标准偏差进行对比，也没有提及对样本量的依赖性。作为估计量的特殊情况，请考虑样本均值。平均值的标准误差为其中σ是总体标准偏差。因此，在此示例中，我们可以清楚地看到标准误差如何随着样本量的增加而减小。标准偏差最常用于指代单个观测值。因此，标准差描述了各个观测值的变异性，而标准误差则描述了估计量的变异性。好的估计量是一致的，这意味着它们收敛到真实的参数值。当它们的标准误差随着样本数量的增加而减小到0时，估计量是一致的，这在大多数情况下是因为标准误差变为0（正如我们在样本均值中明确看到的那样）。$\sigma \, / \, \sqrt{n}$$\sigma$

这是一个更实用（而不是数学）的答案：

• SD（标准偏差）可量化分散度-值彼此相差多少。
• SEM（均值的标准误）量化了您对总体真实均值的精确度。它同时考虑了SD的值和样本量。
• SD和SEM的单位相同-数据的单位。
• 根据定义，SEM始终小于SD。
• SEM随样品变大而变小。这是有道理的，因为大样本的均值可能比小样本的均值更接近真实总体均值。对于庞大的样本，即使数据非常分散，您也可以非常精确地知道均值。
• 当您获取更多数据时，SD不会发生可预测的变化。您从样本计算出的SD是对总体总体SD的最佳估计。随着收集更多数据，您将更加精确地评估总体的SD。但是您无法预测较大样本的SD是否会大于较小样本的SD。（这是一种简化，并非完全正确。请参见下面的评论。）

请注意，几乎可以对您根据数据计算出的所有参数计算标准误差，而不仅仅是平均值。短语“标准错误”有点含糊。以上几点仅指平均值的标准误。

（摘自我写的《GraphPad统计指南》。）

$\theta$$\mathbf{x} = \{x_1, \ldots, x_n \}$$\theta$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\mathbf{x}$$\tilde{\mathbf{x}}$$\hat{\theta}(\tilde{\mathbf{x}})$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\hat{\theta}$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\hat{\theta}$

（请注意，我关注的是均值的标准误差，我相信提问者也是如此，但是您可以为任何样本统计信息生成标准误差）

标准误差与标准偏差有关，但它们不是同一回事，并且样本量的增加不会使它们更靠近。而是，它们使它们相距更远。随着样本量的增加，样本的标准偏差变得更接近总体标准偏差，但标准偏差却没有。

有时，围绕此的术语有点难以理解。

当您收集样本并计算该样本的标准偏差时，随着样本大小的增加，标准偏差的估计值将越来越准确。从您的问题看来，这就是您在想什么。但是也要考虑样本的平均值趋于平均接近总体平均值。这对于理解标准错误至关重要。

标准错误是关于如果您获得给定大小的多个样本会发生什么。如果您抽取10个样本，则可以估算出平均值。然后，您再取10个样本和新的均值估计，依此类推。这些样品的平均值的标准偏差是标准误差。鉴于您提出了问题，现在您可能可以看到，如果N高，则标准误差会变小，因为样本均值不太可能与真实值有很大偏差。

鉴于您是从一个样本中计算得出的，对于某些人来说这听起来有些奇迹。因此，您可以做的是通过仿真引导一个标准错误来演示这种关系。在R中看起来像：

# the size of a sample
n <- 10
# set true mean and standard deviation values
m <- 50
s <- 100

# now generate lots and lots of samples with mean m and standard deviation s
# and get the means of those samples. Save them in y.
y <- replicate( 10000, mean( rnorm(n, m, s) ) )
# standard deviation of those means
sd(y)
# calcuation of theoretical standard error
s / sqrt(n)

您会发现最后两个命令生成的数字相同（大约）。您可以改变n，m和s的值，它们总是很接近彼此。