泊松分布与正态分布有何不同？

我生成了一个具有泊松分布的向量，如下所示：

x = rpois(1000,10)

如果我使用制作直方图hist(x)，则分布看起来像是熟悉的钟形正态分布。然而，使用柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫测试ks.test(x, 'pnorm',10,3)说，分布显著不同的正态分布，由于非常小的p值。

所以我的问题是：当直方图看起来与正态分布非常相似时，泊松分布与正态分布有何不同？

1. Poisson分布是离散的，而正态分布是连续的，并且Poisson随机变量始终> =0。因此，Kolgomorov-Smirnov检验通常能够分辨出差异。

2. 当泊松分布的平均值较大时，它与正态分布相似。然而，rpois(1000, 10)甚至不看那个类似正态分布（它在0短停和右尾太长）。

3. 为什么将它与ks.test(..., 'pnorm', 10, 3)而不是进行比较ks.test(..., 'pnorm', 10, sqrt(10))？3和之间的差异很小，但在比较分布时本身会有所不同。即使分布确实是正态分布，您最终也会得到一个反保守的p值分布：$\sqrt{10}$

   set.seed(1)
   
   hist(replicate(10000, ks.test(rnorm(1000, 10, sqrt(10)), 'pnorm', 10, 3)$p.value))
   

这是更容易理解的方法：

您可以将二项分布视为大多数分布的“母体”。当n足够大时，正态分布只是二项式分布的近似值。实际上，亚伯拉罕·德·莫夫（Abraham de Moivre）实质上是在尝试近似二项式分布的同时发现了正态分布，因为随着n的增长，它很快就无法计算二项式分布，尤其是当您没有计算机时（参考）。

泊松分布也只是二项式分布的另一个近似值，但是当n大而 p小时，或者比平均值近似等于方差时，泊松分布要好得多。np（1-p））（参考）。为什么这种特殊情况如此重要？显然，它在现实世界中浮出水面，这就是为什么我们使用这种“特殊”近似值。下面的示例说明了Poisson近似非常有效的方案。

例

我们有一个100,000台计算机的数据中心。今天任何给定计算机发生故障的概率为0.001。因此，平均np = 100台计算机在数据中心发生故障。今天只有50台计算机出现故障的概率是多少？

Binomial: 1.208E-8
Poisson: 1.223E-8
Normal: 1.469E-7

实际上，正态分布的近似质量随着分布的尾部而下降，但泊松仍然保持很好的状态。在上面的示例中，让我们考虑今天只有5台计算机出现故障的概率是多少？

Binomial: 2.96E-36 
Poisson: 3.1E-36
Normal: 9.6E-22

希望这可以使您更好地直观理解这3个分布。

我认为值得一提的是，泊松（）pmf是p n = λ / n的二项式（n，p n）的极限pmf 。$\lambda$$n$$p_n$$p_n = \lambda / n$

在此博客上可以找到一个相当漫长的发展过程。

但是，我们也可以在这里经济地证明这一点。如果然后固定ķ P（X Ñ = ķ $X_n \sim \mathrm{Binomial}(n,\lambda/n)$ $k$

$$\begin{align} \mathbb P(X_n = k) &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &= \underbrace{\frac{n! n^{-k}}{(n-k)!}}_{\to 1} \frac{\lambda^k}{k!}\underbrace{(1-\lambda/n)^n}_{\to e^{-\lambda}} \cdot \underbrace{(1-\lambda/n)^{-k}}_{\to 1} \>. \end{align}$$

$n \to \infty$$k$

$$\mathbb P(X_n = k) \to \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \,,$$ $n \to \infty$$(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$

$n$$p$$\approxeq^d \mathcal N(np, np(1-p))$$n \rightarrow \infty$$p$$p_n = \lambda / n \rightarrow 0$$\lambda$$n$