并联电阻的变化

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假设您有一组电阻R，所有电阻均以均值μ和方差σ分布。

考虑具有以下布局的电路的一部分：（r）|| （r + r）|| （r + r + r）。每个部分的等效电阻分别为r，2r和3r。然后每个部分的方差是 $σ^2$ ， $2σ^2$ ， $3σ^2$ 。

整个电路的电阻变化是多少？

在对数百万个点进行采样之后，我们发现方差约为 $.10286\sigma^2$ 。

我们将如何分析得出这个结论？

编辑：假设电阻值是正态分布的，具有一些平均电阻r和方差 $σ^2$ 。

probability sampling variance

— 安卓
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1

我不认为这是一个合适的模型。您是否熟悉热电路噪声的奈奎斯特-约翰逊理论？如果您有目的地做一些不同的事情，那么看看动机会很有趣。否则，考虑使用更标准的模型可能是值得的。:)

— 红衣主教2012年

是的，当我尝试回答一个问题时，我也意识到该模型显然不易处理。但是，我认为这更像是一个学术问题，而不是实际问题（毕竟，他们正在进行模拟）。

— 内斯托尔·

我很抱歉以sigma作为方差，我最初使用VAR，有人将其编辑为sigma。

— lrAndroid

感谢更新。如果您愿意在这个问题上加一点点，我仍然对这个问题背后的动机感兴趣。:)

— 主教

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整个电路的等效电阻有人假设，对于一些独立的随机变量，居中且具有方差。 $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

如果没有进一步的指示，则无法计算的方差，因此，为了进一步讲解，我们考虑了所在的体制然后，因此其中可以看到此外，因此，在极限 $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ ，和这些和推广到任意数量的并联电阻，每个电阻都是基本电阻串联的结果，基本电阻是独立的，并且每个均值均具有和方差。然后，当，其中

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— 做过
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我不认为确切的答案仅取决于和。当您采样时，我想您必须使用一些具体的分布-可能是正态分布？在任何情况下，我们都可以通过线性近似来计算电路电阻的均值和方差，则分布的确切形式无关紧要。 $\mu$ $\sigma^2$

电路的电阻为。在线性逼近中，均值和方差的随机变量的倒数的均值和方差分别为和。因此，我们有一个项的总和，均值，和以及方差，和，它们的平均值加起来为和方差为 $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ 。然后取其倒数，得出平均值和方差，与您的结果一致。 $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— 约里基
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当然，这是假定电阻器是独立的随机变量。

@罗伯特：是的（抵抗力量）。这已经在问题中的方差，和的计算中假设，并且具有物理意义（尽管如果我们从同一批生产中获取所有电阻器，则它们的电阻会有些相关）。

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

当然，在实际设计中，电阻远非独立的rvs。实际上，要进行大量工作才能使一些元素组相互跟踪（毫不奇怪，这称为“匹配”）。

1

您是否使用？我更习惯于将其写为。

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat：当然，您对是正确的-我不加思索地采用了问题中使用的符号。

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

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这取决于电阻的分布形状。尽管我认为存在限制，但在不知道分布的情况下，我什至无法说出平均阻力。

因此，让我们选择一个易于处理的分布：是一个电阻的电阻的标准偏差。设电阻为，每个符号的出现概率为。这使我们可以考虑情况，或者如果我们结合一些情况，则需要。当然，我们将假设电阻是独立的。 $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

如果我们选择且则平均值为（略低于），并且方差为。如果我们选择且，则方差为。 $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

这是当均值为并且方差为时方差之间的比率的幂级数展开：。当较小时，主导项为。 $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

从技术上讲，您的问题取决于分布，但是您可能会对标准偏差小于均值的情况感兴趣，并且我认为存在一个明确定义的限制，该限制不取决于分布。线性化电路电阻随每块电阻的关系：

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

使用此特定电路，比例偏导数为和 $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— 道格拉斯·扎尔
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1

这让我想起了多元三角定理，即具有均值和方差，然后渐近方差应为，其中和。最终答案与@Douglas Zare和OP相同，即0.1028。

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix'7

1

我警告，按照我的推理，这是一个很长的答案，但也许有人可以从我的尝试中提出更好的选择（这可能不是最佳选择）。另外，我误解了最初的OP问题，并认为它表示阻力在正态分布。无论如何，我都会留下答案，但这是一个潜在的假设。

1.问题的物理推理

我的推理如下：回想一下，对于并联的电阻器，等效电阻由下式给出： $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

其中是电路各部分的电阻。就您而言，这给了我们 $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ ，其中是电路中电阻为1的部分，因此具有均值和方差正态分布，并且同样的原因，是具有两个电阻的电路部分的等效电阻，最后，是具有三个电阻的电路部分的等效电阻。您应该找到的分布，然后从中获得它的方差。

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2.获得的分布 $R_{eq}$

查找分布的一种方法是注意：从这里，我们还注意到我们可以写出（通过贝叶斯定理获得），假设，和之间的独立性（在物理上是合理的）可以表示为将其替换为并注意到三个电阻之间独立的另一个结果是

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ ，我们得到：然后，我们的最后一个问题是找到，即rv。这个问题类似于我们在这里找到的问题，除了现在您在eq中替换。以常数。按照与上述相同的参数，您可以发现显然，其余的是替换已知的分布，除了一个小问题：可以从获得，注意

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ 是高斯型，因此，您基本上需要找到随机变量其中和是常数，和是高斯均值和方差。如果我的计算正确，则此分布为：其中，因此的分布为

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ 其中和。问题是，我不知道这在解析上是否易于解决以求解方程式的积分，然后将导致我们通过替换方程式的结果来解决该问题。至少对我而言，这不是夜晚。

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— 内斯托
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您假设正态分布，即使电阻不能为负？我的猜测是，这将使电路的方差发散。

— 道格拉斯·扎里

1

我知道，这也让我感到困扰，但实际上，这实际上取决于和。如果和，那么我们可以“保存”模型。在正常条件下，电阻的色散不是很高，因此显然可以满足最后一个假设。当人们将身高建模为正常随机变量时，这最初也使我感到困扰，但是由于我在这里给出的相同原因，这里的一些人在Stack-exchange上对它感到满意:-)。

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— 内斯托尔·

嗯，我认为像正常情况那样建模高度太糟糕了，以至于我将其用作显然不正常的分布示例。我想，如果您有一群具有相同遗传背景的健康成年男性，那可能并不可怕。但是，我想从生物学家那里得知这是可以的。我经常听到的理由是，每个骨头的大小都是独立的，这完全是胡说八道。

— 道格拉斯·扎里

我只是意识到阻力并不是正态分布的（我可以发誓我在原始OP答案中看到了它们，但我认为那只是我的想象）。

— 内斯托尔·