条件概率公式背后的直觉是什么？

给定发生的情况下发生条件概率的公式为： P \ left（\ text {A}〜\ middle |〜\ text {B} \ right）= \ frac { P \ left（\ text {A} \ cap \ text {B} \ right）} {P \ left（\ text {B} \ right）}。 $\text{A}$$\text{B}$

$$P\left(\text{A}~\middle|~\text{B}\right)=\frac{P\left(\text{A} \cap \text{B}\right)}{P\left(\text{B}\right)}.$$

我的教科书以维恩图的形式解释了其背后的直觉。

给定$\text{B}$已经发生，\ text {A}发生的唯一方法$\text{A}$是使事件落在$\text{A}$和\ text {B}的交集处$\text{B}$。

在那种情况下，$P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$的概率不等于$\text{A}$交集\ text {B}的概率$\text{B}$，因为那是事件发生的唯一途径吗？我想念什么？

有一个很好的直觉，就是B发生了-有或没有A-A的概率是多少？即，我们现在处于B发生的宇宙中-完整的右圆圈。在该圆中，A的概率为A与B相交的面积除以圆的面积。

我会这样想：我认为您理解直觉直到：

假定发生了B，则A发生的唯一方法是使偶数落在A和B的交点上。

我将评论您发布的第二张图片：

1. 想象一下，整个白色矩形就是您的样本空间。$\Omega$

   将概率分配给集合意味着从某种意义上来说，您正在对该集合进行度量。这与您测量矩形的面积相同，但是概率是另一种具有特定属性的度量（我对此不再赘述）。

2. 您知道，其解释如下：$P(\Omega) = 1$

   $\Omega$代表所有可能发生的事件和必须发生的事情，因此我们有100％的可能性发生了事情。

3. 类似地设定具有概率是正比于样本空间的概率。从图形上来说，您看到因此的度量（其概率）必须小于。相同的推理对于集合是有效的。可以测量此集合，其度量为。P （甲）Ω 甲⊂ Ω 甲P （甲）P （Ω ）甲∩ 乙P （甲∩ 乙$A$$P(A)$$\Omega$$A \subset \Omega$$A$$P(A)$$P(\Omega)$$A \cap B$$P(A \cap B)$

4. 现在，如果你被告知已经发生了，你必须要考虑的，如果是你的“新”。如果是您的“新”那么您可以100％确保发生了所有事情。乙Ω乙Ω $B$$B$$\Omega$$B$$\Omega$$B$

   那是什么意思呢？这意味着，现在，在“新”竞赛，您必须重新调整所有概率度量，并考虑到必须以“新”样本空间来表示它们。。这是一个简单的比例。$P(B \mid B) =1$$B$

   当您说以下话时，您的直觉几乎是正确的：

P（A | B）的概率将仅等于A交集B的概率

而“几乎”是由于您的样本空间已更改（现在是）而您要相应地重新缩放的事实。P （甲∩ 乙$B$$P(A \cap B)$

5. P （甲∩ 乙）$P(A \mid B)$是新世界中样本空间为。换句话说，您会这样说（并且请尝试通过设置将其形象化）：$P(A \cap B)$$B$

   在新世界中，度量与度量之间的比率必须与度量与度量之间的比率相同一∩ 乙Ω 一个| $B$$A\cap B$$\Omega$$A \mid B$

6. 最后，将其翻译成数学语言（简单比例）：

$$P(B):P(A \cap B) = P(\Omega):P(A \mid B)$$

并且由于 因此可以得出：$P(\Omega)=1$

$$P(A \mid B)= P(A \cap B):P(B)$$

您会发现直觉很容易考虑以下问题。

假设您有10个球：6个黑色和4个红色。黑色球中的3个很棒，红色球中只有1个很棒。黑球还真棒的可能性有多大？

答案很简单：50％，因为在总共6个黑球中，我们有3个超赞黑球。

这是您将概率映射到我们的问题的方式：

• 黑色和超赞的3个球对应于$P(A \cap B)$
• 黑色的6个球对应于$P(B)$
• 当我们知道它是黑色时，一个球很棒的概率：$P(A\mid B)$

对于条件概率公式的基本直觉，我总是喜欢使用双向表。假设一年中有150名学生，其中80名女性和70名男性，每个人都必须学习一门语言课程。参加不同课程的学生的双向表是：

        | French   German   Italian  | Total
-------- --------------------------- -------
Male    |     30       20        20  |    70
Female  |     25       15        40  |    80
-------- --------------------------- -------
Total   |     55       35        60  |   150

假设有一个学生学习意大利语课程，那么他们成为女性的几率是多少？那么意大利语课程有60名学生，其中有40名是学习意大利语的女性，因此概率必须是：

$$P(\text{F|Italian})=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

其中是集合A的基数，即它包含的项数。请注意，我们需要使用ñ （˚F ∩ 意大利）在分子和不只是ñ （˚F ），因为后者会包括所有的80位女性，包括其他40谁不学习意大利语。$n(A)$$A$$n(\text{F} \cap \text{Italian})$$n(\text{F})$

但是，如果问题被抛弃，那么假设他们是女性，那么学生修读意大利语课程的概率是多少？然后，在80名女学生中，有40名参加了意大利语课程，因此我们有：

$$P(\text{Italian|F})=\frac{n(\text{Italian} \cap \text{F})}{n(\text{F})}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

我希望这为为什么提供了直觉

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

理解为什么可以用概率而不是基数来写分数是等效分数的问题。例如，让我们回到假设学生正在学习意大利语的情况下，该学生是女性的可能性。总共有150名学生，因此，一个学生是女性并且学习意大利语的概率是40/150（这是“联合”概率），而一个学生学习意大利语的概率是60/150（这是“边际”概率） ）。请注意，联合概率除以边际概率得出：

$$\frac{P(\text{F} \cap \text{Italian})}{P(\text{Italian})}=\frac{40/150}{60/150}=\frac{40}{60}=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=P(\text{F|Italian})$$

（要看到分数是等价的，将分子和分母乘以150会除去每个中的“ / 150”。）

更一般而言，如果您的采样空间具有基数n （Ω ）（在此示例中，基数为150），我们发现$\Omega$$n(\Omega)$

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

我会颠倒逻辑。和B两者均为的概率：$A$$B$

1. 发生的概率，以及给定A发生的概率。$B$$A$
2. 和B角色相同但角色相反$A$$B$

这会给你

$p(A\cap B)=p(B)p(A\mid B)$

如果您对建议的看法是负面的，那么确实是给定B包含在给定B中的可能性，您掷骰子的空间要小于原始的概率空间-您知道确保您“在” B中，因此您除以新空间的大小。$A$$B$$B$

维恩图不代表概率，它代表事件空间子集的度量。概率是两个度量之间的比率；X的概率是“构成X的所有元素”的大小除以“所有正在考虑的事件”的大小。任何时候计算概率时，都需要一个“成功空间”和一个“人口空间”。您不能仅基于成功空间的“大小”来计算概率。例如，掷出两个骰子的7的概率是掷出7的方法的数目除以掷出两个骰子的方法的总数。仅知道滚动七的方法的数量不足以计算概率。P（A | B）是“ A和B都发生”的度量的比率 空间和“ B发生”空间的度量。那就是“ |” 意思是：它的意思是“使人口空间在此之后发生变化”。

我认为考虑这一点的最佳方法是画出逐步的路径。

让我们将事件B描述为在合理的骰子上掷出，这很容易证明其概率为$4$。现在，让我们将事件A描述为从标准52张纸牌中抽出一张A-可以很容易地证明其概率为$\frac{1}{6}$。$\frac{1}{13}$

现在让我们进行一个实验，先掷骰子，然后选一张牌。所以，假设我们已经掷出 4，则 B ）就是我们得出A的概率。如果您查看图片，则为$P\left(A \middle| B\right)$$4$路径（向上），然后是$\frac{1}{6}$路径（再次向上）。$\frac{1}{13}$

直观地，总概率空间就是我们已经给出的：滚动。我们可以忽略$4$和$\frac{1}{13}$最初的下降路线是 13，因为我们给出的结果是4。根据乘法定律，我们的总空间为（$\frac{12}{13}$$4$。$\left(\frac{1}{6}{\times}\frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6}{\times}\frac{12}{13}\right)$

现在，如果我们掷出，那么我们有多少概率赢得A ？使用路径的答案是（$4$，然后我们需要将其除以总空间。所以我们得到P（$\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13} \right)$

$$P\left(A \middle| B\right) = \frac{\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}}{\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6} {\times} \frac{12}{13}\right)}.$$

从数量上考虑一下。边际概率是A发生多少次除以样本大小。A和B的联合概率是A与B一起发生的次数除以样本大小。给定B的条件概率是A与B一起发生的次数除以B发生的次数，即只有A的“在B内”。

您可以在此Blog上找到漂亮的视觉插图，并使用Lego块将其展示出来。

在撰写本文时，大约有10个答案似乎都错过了最重要的一点：您本质上是对的。

在那种情况下，P（A | B）的概率不仅仅等于A交集B的概率，因为那是事件发生的唯一途径吗？

$P(A\vert B)$$P(A \cap B)$

我想念什么？

$P(B\cap B) = P(B)$$P(B)$$A \mapsto P(A\vert B)$

当我们有一个具体的数据来估计概率时，我觉得它更直观。

让我们以mtcars数据为例，数据看起来像这样（我们仅使用气缸数和变速箱类型。）

> mtcars[,c("am","cyl")]
                    am cyl
Mazda RX4            1   6
Mazda RX4 Wag        1   6
Datsun 710           1   4
Hornet 4 Drive       0   6
...  
...
Ford Pantera L       1   8
Ferrari Dino         1   6
Maserati Bora        1   8
Volvo 142E           1   4

我们可以通过做一个交叉表来计算两个变量的联合分布：

> prop.table(table(mtcars$cyl,mtcars$am))

          0       1
  4 0.09375 0.25000
  6 0.12500 0.09375
  8 0.37500 0.06250

联合概率意味着我们要同时考虑两个变量。例如，我们将询问4缸和手动变速器有多少辆汽车。

现在，我们来谈谈条件概率。我发现解释条件概率的最直观方法是对数据使用过滤一词。

$P(am=1|cyl=4)$

> cyl_4_cars=subset(mtcars, cyl==4)
> prop.table(table(cyl_4_cars$am))

        0         1 
0.2727273 0.7272727 

这意味着，我们只在乎汽车有4缸。因此，我们对此进行了过滤。过滤后，我们检查其中有多少是手动传输的。

您可以将条件条件与前面提到的关节进行比较，以体会差异。

如果A是发生B的概率的超集，则在A发生的情况下始终为1 B，即P(A|B) = 1。但是，B它本身的概率可能远小于1。

考虑以下示例：

• 给出的x是1..100中的自然数，
• A是“ x是偶数”
• B是' x被10整除'

然后我们有：

• P(A) 是0.5
• P(B) 是0.1

如果我们知道该数字x可以被10整除（即xin B），那么我们知道它也是一个偶数（即xin A）P(A|B) = 1。

根据贝叶斯法则，我们有：

$$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

$P(A \cap B)$xx$P(A \cap B) = P(B)$$P(A|B) = P(B) / P(B) = 1$

---

对于非简并的示例，请考虑例如A' x是可被7整除并且B' x是可以被3整除”的。那么P(A|B)相当于“假设我们知道x可以被3整除，那么（也）可以被7整除的概率是多少？”。或等效地“数字3、6，...，99的哪一部分可被7整除”？

我认为您的最初声明可能是一种误解。

你写了：

一旦B发生，A发生的条件概率的公式为：

从您的措辞看来，好像有2个事件“首先发生B，然后我们要计算A发生的可能性”。

不是这种情况。（无论是否有误会，以下内容均有效）。

我们只有1个事件，由4种可能性之一描述：

1. $\text{A}$$\text{B}$

2. $\text{A}$$\text{B}$

3. $\text{B}$$\text{A}$

4. $\text{A}$$\text{B}$

$$\begin{array}{ccccccc} P\left(\text{A}\right) = 0.5, & & P\left(\text{B}\right) = 0.5, & & \text{and} & & \text{A and B are independent}. \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} P\left(\text{A and B}\right)=0.25 & & \text{and} & & P\left(\text{neither A nor B}\right)=0.25. \end{array}$$

$P\left(\text{AB}\right) = 0.25$

$\text{B}$$P\left(\text{AB}\right)$$P\left(\text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$$P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$0.5$$0.25$$\text{B}$

条件概率不等于相交概率。这是一个直观的答案：

$P(B \mid A)$$A$$B$

$P(A \cap B)$$A$$B$

$A$

从第二个概率开始，我们可以推断出第一个概率。

$A$$B$

$A$$B$$A$

$B$$A$$B$

事实证明，两种情况都同样可能发生。（我自己无法找出直观原因）。因此，我们必须用加权这两种情况$0.5$

$P(A \cap B) = 1/2 * P(A \cap (B \mid A)) + 1/2*P(B \cap (A \mid B))$

$A$$B \mid A$

$P(A \cap B) = P(A) * P(B \mid A)$

Tadaaa ...现在隔离条件的概率！

顺便说一句 我希望有人能解释为什么情形1和2相等。关键在于imo。