哪种分布形式产生“毕达哥拉斯的期望”？

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令和是由相同的未指定分布形式生成的独立连续随机变量，但允许使用不同的参数值。我感兴趣的是找到一种参数分布形式，对于所有允许的参数值，其以下采样概率均适用： $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

P （ X > ÿ | θ_{X} ， θ_{ÿ} ） = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{ÿ}^{2}} 。

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

我的问题：谁能告诉我这适合的连续分布形式？是否有导致这种情况的（非平凡的）一般条件？

我的初步想法：如果将两个参数乘以任何非零常数，则概率保持不变，因此是某种比例参数是有意义的。 $\theta$

probability distributions

— 恢复莫妮卡
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也许这将帮助：en.wikipedia.org/wiki/...

— 约翰·科尔曼

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您可以提供此问题的上下文或参考吗？

— 西安

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如果我们采取两种指数随机变量，我们得到的是和

X 〜 Ë （ θ_{X} ） X 〜 Ë （ θ_{ÿ} ）

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

P （ X > ÿ | ÿ = ÿ ） = 经验值 {- θ_{X} ÿ}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

现在，如果

Ë^{ÿ} [经验值 {- θ_{X} ÿ}] = \int_{0}^{\infty} 经验值 {- θ_{X} ÿ} θ_{ÿ} 经验值 {- θ_{ÿ} ÿ} d ÿ = \frac{θ_{ÿ}}{θ_{X} + θ_{ÿ}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

然后

X 〜 Ë （ θ_{X}^{- 2} ） X 〜 Ë （ θ_{ÿ}^{- 2} ）

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

P （ X > ÿ ） = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{ÿ}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

$f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} ž F （ ž ） F （ τ ž ） d ž = \frac{1个}{（ 1个 + τ ）^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

P （ X > ÿ ） = P （ X^{α} > ÿ^{α} ）

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

X^{'} = ϕ （ X ） ÿ^{'} = ϕ （ ÿ ）

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

P （ X^{'} > ÿ^{'} ） = P （ ϕ （ X ） > ϕ （ ÿ ） ） = P （ X > ÿ ） = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{ÿ}^{2}} 。

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— 西安
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$X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

P [X > ÿ] = \frac{β_{1个}^{α}}{β_{1个}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

这可以按照西安答案中给出的相同方法得出。

$\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

P [X > ÿ] = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{ÿ}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— 索克利
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（+1）：考虑到问题中采用的模糊的参数化概念，您可以通过以下方式对Weibulls进行参数化

θ_{X}

$\theta_X$ 和

θ_{Y}

$\theta_Y$ 对所有人

α

$\alpha$ 的。所以结果适用于所有人

α

$\alpha$ 的。

— 西安

确实，正如您所显示的。我假设OP希望使用参数更直接一些。

— soakley