如何最小化指数拟合的平方的剩余平方和？

我有以下数据，并希望对其采用负指数增长模型：

Days <- c( 1,5,12,16,22,27,36,43)
Emissions <- c( 936.76, 1458.68, 1787.23, 1840.04, 1928.97, 1963.63, 1965.37, 1985.71)
plot(Days, Emissions)
fit <- nls(Emissions ~ a* (1-exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.55))
curve((y = 1882 * (1 - exp(-0.5108*x))), from = 0, to =45, add = T, col = "green", lwd = 4)

该代码正在运行，并绘制了一条拟合线。但是，拟合在视觉上并不理想，并且残差平方和似乎非常大（147073）。

我们怎样才能提高身材？数据是否完全适合？

我们在网络上找不到解决此挑战的解决方案。任何直接帮助或与其他网站/帖子的链接都将不胜感激。

r nonlinear-regression fitting nls

— 斯特罗米
source

在这种情况下，如果考虑回归模型

，其中

{Emissions}_{i} = f ({Days}_{i}, a, b) + ϵ_{i}

$\text{Emissions}_i=f(\text{Days}_i,a,b)+\epsilon_i$

，则获得相似的估计。通过绘制置信区域，可以观察这些值如何包含在置信区域中。除非您对点进行插值或使用更灵活的非线性模型，否则您无法期望完美的拟合。

ϵ_{i} \sim N (0, σ)

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma)$

我更改了标题是因为“负指数模型”的含义与问题中所述的有所不同。

— ub

感谢您使问题更清晰（@whuber），也感谢您的回答（@Procrastinator）。如何计算和绘制置信区域。而且，什么是更灵活的非线性模型？

— Strohmi 2012年

您需要一个附加参数。 看看会发生什么

fit <- nls(Emissions ~ a* (1- u*exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.1, u=.5));  beta <- coefficients(fit); curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T)

。

— ub

@whuber-也许您应该将其发布为答案？

— jbowman

A（负）指数规律的形式为。当你允许在单位改变和值，虽然说和 $y=-\exp(-x)$ $x$ $y$ $y = \alpha y' + \beta$ ，那么法律将被表示为 $x = \gamma x' + \delta$

α y^{'} + β = y = - \exp (- x) = - \exp (- γ x^{'} - δ),

$\alpha y' + \beta = y = -\exp(-x) = -\exp(-\gamma x' - \delta),$

在代数上等于

y^{'} = \frac{- 1}{α} \exp (- γ x^{'} - δ) - β = a (1 - u \exp (- b x^{'}))

$y' = \frac{-1}{\alpha} \exp(-\gamma x' - \delta) - \beta = a\left(1 - u\exp(-b x')\right)$

使用三个参数，，和。我们可以承认作为尺度参数的，为尺度参数，以及如从推导位置的参数。 $a = -\beta/\alpha$ $u = 1/(\beta\exp(\delta))$ $b = \gamma$ $a$ $y$ $b$ $x$ $u$ $x$

根据经验，这些参数可以从图中一目了然：

参数是水平渐近线的值，略小于。 $a$ $2000$
参数是曲线从原点到其水平渐近线的相对量。因此，这里的上升幅度略小于；相对而言，大约是渐近线的。 $u$ $2000 - 937$ $0.55$
因为，当等于三倍的值的曲线应已上升到约或的总的。从到大约的增长使我们处于左右; 扫描整个图表明这花费了到天。让我们把它为简单起见，从那里 $\exp(-3) \approx 0.05$ $x$ $1/b$ $1-0.05$ $95\%$ $95\%$ $937$ $2000$ $1950$ $20$ $25$ $24$ 。（在许多经常使用指数图的领域中，这种标度为指数的方法是标准的。） $b \approx 3/24 = 0.125$ $95\%$

让我们看看它是什么样的：

plot(Days, Emissions)
curve((y = 2000 * (1 - 0.56 * exp(-0.125*x))), add = T)

眼球贴合

一开始还不错！（即使输入0.56代替0.55，也仍然是一个粗略的近似值。）我们可以使用nls：

fit <- nls(Emissions ~ a * (1- u * exp(-b*Days)), start=list(a=2000, b=1/8, u=0.55))
beta <- coefficients(fit)
plot(Days, Emissions)
curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T, col="Green", lwd=2)

NLS适合

的输出nls包含有关参数不确定性的大量信息。例如，一个简单的summary提供估计的标准误差：

> summary(fit)

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
a 1.969e+03  1.317e+01  149.51 2.54e-10 ***
b 1.603e-01  1.022e-02   15.69 1.91e-05 ***
u 6.091e-01  1.613e-02   37.75 2.46e-07 ***

我们可以读取并使用估计的整个协方差矩阵，这对于估计同时置信区间（至少对于大型数据集）非常有用：

> vcov(fit)
             a             b             u
a 173.38613624 -8.720531e-02 -2.602935e-02
b  -0.08720531  1.044004e-04  9.442374e-05
u  -0.02602935  9.442374e-05  2.603217e-04

nls 支持参数的轮廓图，提供有关其不确定性的更多详细信息：

> plot(profile(fit))

$a$

轮廓图

$2$ $1945$ $1995$

— ub
source

res <- residuals(fit); res %*% res

u

$u$

2724

$2724$

147073

$147073$

一切顺利。但是，也许OP有一些理由选择指数模型（或者也许只是因为它是众所周知的）。我认为首先应该考虑指数模型的残差。根据潜在的协变量绘制它们，以查看是否存在结构，而不仅仅是大的随机噪声。在跳入更复杂的模型之前，请尝试看看更高级的模型是否可以提供帮助。

— Michael R. Chernick

x

$x$

我不是在批评你的答案！我没有看到任何残留图。我只是想说，残差与潜在协变量的图应该是找到更好模型的第一步。如果我认为自己有答案，那么我会给出答案，而不是提出一个常数。我以为您给出了很好的回应，而我也是给您+1的人之一。

— Michael R. Chernick