反向传播的矩阵形式与批量归一化

批归一化已被认为可在深度神经网络中显着提高性能。互联网上的大量资料显示了如何在逐个激活的基础上实施它。我已经使用矩阵代数实现了backprop，并且考虑到我正在使用高级语言（同时依赖Rcpp（最终是GPU的）密集矩阵乘法），将所有内容剔除并采用for-loops可能会使我的代码变慢除了遭受巨大的痛苦之外

批处理归一化函数为其中

b (x_{p}) = γ (x_{p} - μ_{x_{p}}) σ_{x_{p}}^{- 1} + β

$b(x_p) = \gamma \left(x_p - \mu_{x_p}\right) \sigma^{-1}_{x_p} + \beta$

$x_p$ 是激活之前的个节点 $p$
$\gamma$ 和是标量参数 $\beta$
$\mu_{x_p}$ 和是均值和SD的。（请注意，通常使用方差的平方根加上一个模糊系数-假设非零元素为紧凑起见） $\sigma_{x_p}$ $x_p$

以矩阵形式，整个层的批量归一化将为其中

b (X) = (γ \otimes 1_{p}) ⊙ (X - μ_{X}) ⊙ σ_{X}^{- 1} + (β \otimes 1_{p})

$b(\mathbf{X}) = \left(\gamma\otimes\mathbf{1}_p\right)\odot \left(\mathbf{X} - \mu_{\mathbf{X}}\right) \odot\sigma^{-1}_{\mathbf{X}} + \left(\beta\otimes\mathbf{1}_p\right)$

$\mathbf{X}$ 是 $N\times p$
$\mathbf{1}_N$ 是1的列向量
$\gamma$ 和现在是每层归一化参数的行向量 $\beta$ $p$
$\mu_{\mathbf{X}}$ 和是矩阵，其中每一列都是列均值和标准差的向量 $\sigma_{\mathbf{X}}$ $N \times p$ $N$
$\otimes$ 是Kronecker产品，是elementwise（Hadamard）产品 $\odot$

，这是一个非常简单的没有批次归一化且连续结果的单层神经网络

y = a ({X Γ}_{1}) Γ_{2} + ϵ

$y = a\left(\mathbf{X\Gamma}_1\right)\Gamma_2 + \epsilon$

哪里

$\Gamma_1$ 是 $p_1 \times p_2$
$\Gamma_2$ 是 $p_2 \times 1$
$a(.)$ 是激活函数

如果损失为，则渐变为 $R = N^{-1}\displaystyle\sum\left(y - \hat{y}\right)^2$

\begin{array}{lr} \frac{\partial R}{\partial Γ_{1}} = - 2 V^{T} \hat{ϵ} \\ \frac{\partial R}{\partial Γ_{2}} = X^{T} (a^{'} (X Γ_{1}) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T}) \end{array}

$\begin{array}{lr} \frac{\partial R}{\partial \Gamma_1} = -2\mathbf{V}^T \hat\epsilon\\ \frac{\partial R}{\partial \Gamma_2} = \mathbf{X}^T \left(a'(\mathbf{X}\mathbf{\Gamma}_1) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T\right) \\ \end{array}$

哪里

$\mathbf{V} = a\left(\mathbf{X}\Gamma_1\right)$
$\hat{\epsilon} = y-\hat{y}$

在批量归一化下，网络变为或我不知道如何计算Hadamard和Kronecker产品的导数。关于克罗内克产品，文献变得相当神秘。

y = a (b (X Γ_{1})) Γ_{2}

$y = a\left(b\left(\mathbf{X}\Gamma_1\right)\right)\Gamma_2$

y = a ((γ \otimes 1_{N}) ⊙ (X Γ_{1} - μ_{X Γ_{1}}) ⊙ σ_{X Γ_{1}}^{- 1} + (β \otimes 1_{N})) Γ_{2}

$y = a\Big(\left(\gamma\otimes\mathbf{1}_N\right)\odot \left(\mathbf{X\Gamma_1} - \mu_{\mathbf{X\Gamma_1}}\right) \odot\sigma^{-1}_{\mathbf{X\Gamma_1}} + \left(\beta\otimes\mathbf{1}_N\right)\Big)\mathbf{\Gamma_2}$

是否存在在矩阵框架内计算，和的？一个简单的表达式，无需借助逐节点计算？ $\partial R/\partial \gamma$ $\partial R/\partial \beta$ $\partial R/\partial \mathbf{\Gamma_1}$

更新1：

我已经弄清楚了类的。它是：一些R代码演示了这等效于执行此操作的循环方法。首先设置假数据： $\partial R/\partial \beta$

1_{N}^{T} (a^{'} (X Γ_{1}) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T})

$\mathbf{1}_{N}^T \left(a'(\mathbf{X}\mathbf{\Gamma}_1) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T\right)$

set.seed(1)
library(dplyr)
library(foreach)

#numbers of obs, variables, and hidden layers
N <- 10
p1 <- 7
p2 <- 4
a <- function (v) {
  v[v < 0] <- 0
  v
}
ap <- function (v) {
  v[v < 0] <- 0
  v[v >= 0] <- 1
  v
}

# parameters
G1 <- matrix(rnorm(p1*p2), nrow = p1)
G2 <- rnorm(p2)
gamma <- 1:p2+1
beta <- (1:p2+1)*-1
# error
u <- rnorm(10)

# matrix batch norm function
b <- function(x, bet = beta, gam = gamma){
  xs <- scale(x)
  gk <- t(matrix(gam)) %x% matrix(rep(1, N))
  bk <- t(matrix(bet)) %x% matrix(rep(1, N))
  gk*xs+bk
}
# activation-wise batch norm function
bi <- function(x, i){
  xs <- scale(x)
  gk <- t(matrix(gamma[i]))
  bk <- t(matrix(beta[i]))
  suppressWarnings(gk*xs[,i]+bk)
}

X <- round(runif(N*p1, -5, 5)) %>% matrix(nrow = N)
# the neural net
y <- a(b(X %*% G1)) %*% G2 + u

然后计算导数：

# drdbeta -- the matrix way
drdb <- matrix(rep(1, N*1), nrow = 1) %*% (-2*u %*% t(G2) * ap(b(X%*%G1)))
drdb
           [,1]      [,2]    [,3]        [,4]
[1,] -0.4460901 0.3899186 1.26758 -0.09589582
# the looping way
foreach(i = 1:4, .combine = c) %do%{
  sum(-2*u*matrix(ap(bi(X[,i, drop = FALSE]%*%G1[i,], i)))*G2[i])
}
[1] -0.44609015  0.38991862  1.26758024 -0.09589582

他们匹配。但是我仍然很困惑，因为我真的不知道为什么会这样。@Mark L. Stone引用的MatCalc注释说的派生应为 $\beta \otimes \mathbf{1}_N$

\frac{\partial A \otimes B}{\partial A} = (I_{n q} \otimes T_{m p}) (I_{n} \otimes v e c (B) \otimes I_{m})

$\frac{\partial A \otimes B}{\partial A} = \left(I_{nq} \otimes T_{mp}\right)\left(I_n\otimes vec(B) \otimes I_m\right)$ 其中下标，和，是和的尺寸。是换向矩阵，在这里仅为1，因为两个输入都是向量。我尝试这样做，但得到的结果似乎没有帮助：

m

$m$

n

$n$

p

$p$

q

$q$

A

$A$

B

$B$

T

$T$

# playing with the kroneker derivative rule
A <- t(matrix(beta)) 
B <- matrix(rep(1, N))
diag(rep(1, ncol(A) *ncol(B))) %*% diag(rep(1, ncol(A))) %x% (B) %x% diag(nrow(A))
     [,1] [,2] [,3] [,4]
 [1,]    1    0    0    0
 [2,]    1    0    0    0
 snip
[13,]    0    1    0    0
[14,]    0    1    0    0
snip
[28,]    0    0    1    0
[29,]    0    0    1    0
[snip
[39,]    0    0    0    1
[40,]    0    0    0    1

这是不符合要求的。显然，我不了解那些Kronecker导数规则。那些方面的帮助会很棒。对于和，我仍然完全停留在其他派生类上，因为它们不会像那样累加地输入，所以它们更难。 $\gamma$ $\mathbf{\Gamma_1}$ $\beta \otimes \mathbf{1}$

更新2

在阅读教科书时，我相当确定和将需要使用运算符。但是，我显然无法充分遵循派生方法，无法将其转换为代码。例如，将要涉及利用该衍生物的相对于，其中（目前我们可以将其视为恒定矩阵）。 $\partial R/\partial \Gamma_1$ $\partial R/\partial \gamma$ vec() $\partial R/\partial \Gamma_1$ $w\odot\mathbf{X\Gamma_1}$ $\mathbf{\Gamma_1}$ $w \equiv (\gamma \otimes \mathbf{1}) \odot \sigma_{\mathbf{X\Gamma_1}}^{-1}$

我的直觉是简单地说“答案是 ”，但这显然行不通，因为与不符。 $w\odot\mathbf{X}$ $w$ $\mathbf{X}$

我知道

\partial (A ⊙ B) = \partial A ⊙ B + A ⊙ \partial B

$\partial(A \odot B) = \partial A \odot B + A \odot \partial B$

从这个，那个

\frac{\partial v e c (w ⊙ X Γ_{1})}{\partial v e c (Γ_{1})^{T}} = v e c (X Γ_{1}) I \frac{\partial v e c (w)}{\partial v e c (Γ_{1})^{T}} + v e c (w) I \frac{\partial v e c (X Γ_{1})}{\partial v e c (Γ_{1})^{T}}

$\frac{\partial vec(w \odot \mathbf{X\Gamma_1})}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T} = vec(\mathbf{X\Gamma_1})I\frac{\partial vec(w)}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T} + vec(w)I\frac{\partial vec(\mathbf{X\Gamma_1})}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T}$ 但我不确定如何评估它，更不用说对其进行编码了。

更新3

在这里取得进展。我昨晚凌晨2点醒来时就想到了这个主意。数学对睡眠不利。

这是，在一些符号糖之后： $\partial R/\partial \mathbf{\Gamma_1}$

$w \equiv (\gamma \otimes \mathbf{1}) \odot \sigma_{\mathbf{X\Gamma_1}}^{-1}$
$\text{"stub"} \equiv a'(b(\mathbf{X\Gamma}_1)) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T$

这是链规则的结尾，内容如下：以这种循环方式开始和将对列进行下标，而是一致的身份矩阵：

\frac{\partial R}{\partial Γ_{1}} = \frac{\partial w ⊙ {X Γ}_{1}}{\partial Γ_{1}} ("stub")

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_1} = \frac{\partial w \odot \mathbf{X\Gamma}_1}{\partial \Gamma_1}\left(\text{"stub"}\right)$

i

$i$

j

$j$

I

$\mathbf{I}$

\frac{\partial R}{\partial Γ_{i j}} = {(w_{i} ⊙ X_{i})}^{T} ({"stub"}_{j})

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \left(w_i \odot \mathbf{X_i}\right)^T\left(\text{"stub"}_j\right)$

\frac{\partial R}{\partial Γ_{i j}} = {(I w_{i} X_{i})}^{T} ({"stub"}_{j})

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \left(\mathbf{I} w_i \mathbf{X_i}\right)^T\left(\text{"stub"}_j\right)$

\frac{\partial R}{\partial Γ_{i j}} = {X_{i}}^{T} I w_{i} ({"stub"}_{j})

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \mathbf{X_i}^T\mathbf{I} w_i\left(\text{"stub"}_j\right)$ tl; dr基本上是将存根乘以batchnorm比例因子。这应该等效于：

\frac{\partial R}{\partial Γ} = X^{T} ("stub" ⊙ w)

$\frac{\partial R}{\partial \Gamma} = \mathbf{X}^T\left(\text{"stub"}\odot w\right)$

而且，实际上是：

stub <- (-2*u %*% t(G2) * ap(b(X%*%G1)))
w <- t(matrix(gamma)) %x% matrix(rep(1, N)) * (apply(X%*%G1, 2, sd) %>% t %x% matrix(rep(1, N)))
drdG1 <- t(X) %*% (stub*w)

loop_drdG1 <- drdG1*NA
for (i in 1:7){
  for (j in 1:4){
    loop_drdG1[i,j] <- t(X[,i]) %*% diag(w[,j]) %*% (stub[,j])
  }
}

> loop_drdG1
           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -61.531877  122.66157  360.08132 -51.666215
[2,]   7.047767  -14.04947  -41.24316   5.917769
[3,] 124.157678 -247.50384 -726.56422 104.250961
[4,]  44.151682  -88.01478 -258.37333  37.072659
[5,]  22.478082  -44.80924 -131.54056  18.874078
[6,]  22.098857  -44.05327 -129.32135  18.555655
[7,]  79.617345 -158.71430 -465.91653  66.851965
> drdG1
           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -61.531877  122.66157  360.08132 -51.666215
[2,]   7.047767  -14.04947  -41.24316   5.917769
[3,] 124.157678 -247.50384 -726.56422 104.250961
[4,]  44.151682  -88.01478 -258.37333  37.072659
[5,]  22.478082  -44.80924 -131.54056  18.874078
[6,]  22.098857  -44.05327 -129.32135  18.555655
[7,]  79.617345 -158.71430 -465.91653  66.851965

更新4

我认为这里是。第一 $\partial R / \partial \gamma$

$\widetilde{\mathbf{X\Gamma}} \equiv \left(\mathbf{X\Gamma} - \mu_{\mathbf{X\Gamma}}\right)\odot \sigma^{-1}_\mathbf{X\Gamma}$
$\tilde\gamma \equiv \gamma \otimes\mathbf{1}_N$

与之前类似，链式规则将您带到循环为您提供与以前一样，它基本上是预乘存根。因此，它应等效于：

\frac{\partial R}{\partial \tilde{γ}} = \frac{\partial \tilde{γ} ⊙ \tilde{X Γ}}{\partial \tilde{γ}} ("stub")

$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma} = \frac{\partial \tilde\gamma \odot \widetilde{\mathbf{X\Gamma}}}{\partial \tilde\gamma}\left(\text{"stub"}\right)$

\frac{\partial R}{\partial {\tilde{γ}}_{i}} = (\tilde{X Γ})_{i}^{T} I {\tilde{γ}}_{i} ({"stub"}_{i})

$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma_i} = (\widetilde{\mathbf{X\Gamma}})_i^T \mathbf{I}\tilde\gamma_i \left(\text{"stub"}_i\right)$

\frac{\partial R}{\partial \tilde{γ}} = (\tilde{X Γ})^{T} ("stub" ⊙ \tilde{γ})

$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma} = (\widetilde{\mathbf{X\Gamma}})^T \left(\text{"stub"} \odot \tilde\gamma \right)$

有点匹配：

drdg <- t(scale(X %*% G1)) %*% (stub * t(matrix(gamma)) %x% matrix(rep(1, N)))

loop_drdg <- foreach(i = 1:4, .combine = c) %do% {
  t(scale(X %*% G1)[,i]) %*% (stub[,i, drop = F] * gamma[i])  
}

> drdg
           [,1]      [,2]       [,3]       [,4]
[1,]  0.8580574 -1.125017  -4.876398  0.4611406
[2,] -4.5463304  5.960787  25.837103 -2.4433071
[3,]  2.0706860 -2.714919 -11.767849  1.1128364
[4,] -8.5641868 11.228681  48.670853 -4.6025996
> loop_drdg
[1]   0.8580574   5.9607870 -11.7678486  -4.6025996

第一个的对角线与第二个的对角线相同。但是实际上，由于导数是关于矩阵的-尽管矩阵具有某种结构，所以输出应该是具有相同结构的相似矩阵。我是否应该采用矩阵方法的对角线并将其简单地设为？我不确定。 $\gamma$

看来我已经回答了自己的问题， 但不确定自己是否正确。在这一点上，我将接受一个可以严格证明（或反对）我被黑的东西的答案。

while(not_answered){
  print("Bueller?")
  Sys.sleep(1)
}

— generic_user
source

Magnus和Neudecker的第三版janmagnus.nl/misc/mdc2007-3rdedition的“矩阵微分微积分及其在统计和计量经济学中的应用”的第9章第14节介绍了Kronecker产品的微分，并以Hadamard产品微分的练习作为结束。保罗·法克勒（Paul L. Fackler）的“关于矩阵微积分的笔记” www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf 关于区分Kronceker产品有很多材料

— Mark L. Stone

感谢您的参考。我之前已经找到了MatCalc笔记，但是它并不涵盖Hadamard，无论如何我都不确定来自非矩阵演算的规则是否适用于矩阵情况。产品规则，连锁规则等。我将研究这本书。我接受了，他说点我的所有成分的，我需要铅笔它自己...

— generic_user

你为什么做这个？为什么不使用Keras / TensorFlow之类的framewroks？实施这些低级算法很浪费生产时间，您可以用它们来解决实际问题

— Aksakal

更准确地说，我正在使用利用已知参数结构的网络-无论是输入数据的线性参数表示形式还是纵向/面板结构。已建立的框架已进行了高度优化，以至于超出我的能力进行修改/修改。再加上数学通常会有所帮助。很多代码猴子都不知道他们在做什么。同样，学习足够的知识Rcpp以有效地实施它也是有用的。

— –generic_user

@ MarkL.Stone不仅在理论上听起来不错，而且实际上很简单！或多或少的机械过程！＆％＃$！

— –generic_user

不是一个完整的答案，而是要证明我在，其中，而是1的向量，则按照链式规则注意到和，我们看到

b (X) = (X - e_{N} μ_{X}^{T}) Γ Σ_{X}^{- 1 / 2} + e_{N} β^{T}

$b(X)=(X−e_N\mu_X^T)ΓΣ_X^{-1/2}+e_N\beta^T$

Γ = d i a g (γ)

$\Gamma=\mathop{\mathrm{diag}}(\gamma)$

Σ_{X}^{- 1 / 2} = d i a g (σ_{X_{1}}^{- 1}, σ_{X_{2}}^{- 1}, \dots)

$\Sigma_X^{-1/2}=\mathop{\mathrm{diag}}(\sigma_{X_1}^{-1},\sigma_{X_2}^{-1},\dots)$

e_{N}

$e_N$

\nabla_{β} R = [- 2 \hat{ϵ} (Γ_{2}^{T} \otimes I) J_{X} (a) (I \otimes e_{N})]^{T}

$\nabla_\beta R=[-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)J_X(a)(I\otimes e_N)]^T$

- 2 \hat{ϵ} (Γ_{2}^{T} \otimes I) = v e c (- 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T})^{T}

$-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)=\mathop{\mathrm{vec}}(-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)^T$

J_{X} (a) = d i a g (v e c (a^{'} (b (X Γ_{1}))))

$J_X(a)=\mathop{\mathrm{diag}}(\mathop{\mathrm{vec}}(a^\prime(b(X\Gamma_1))))$

\nabla_{β} R = (I \otimes e_{N}^{T}) v e c (a^{'} (b (X Γ_{1})) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T}) = e_{N}^{T} (a^{'} (b (X Γ_{1})) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T})

$\nabla_\beta R=(I\otimes e_N^T)\mathop{\mathrm{vec}}(a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)=e_N^T(a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)$ 通过身份。同样，，其中（“存根”），为

v e c (A X B) = (B^{T} \otimes A) v e c (X)

$\mathop{\mathrm{vec}}(AXB)=(B^T\otimes A)\mathop{\mathrm{vec}}(X)$

\begin{aligned} \nabla_{γ} R & = [- 2 \hat{ϵ} (Γ_{2}^{T} \otimes I) J_{X} (a) (Σ_{X Γ_{1}}^{- 1 / 2} \otimes (X Γ_{1} - e_{N} μ_{X Γ_{1}}^{T})) K]^{T} \\ = K^{T} v e c ((X Γ_{1} - e_{N} μ_{X Γ_{1}}^{T})^{T} W Σ_{X Γ_{1}}^{- 1 / 2}) \\ = d i a g ((X Γ_{1} - e_{N} μ_{X Γ_{1}}^{T})^{T} W Σ_{X Γ_{1}}^{- 1 / 2}) \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\gamma R&=[-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)J_X(a)(\Sigma_{X\Gamma_1}^{-1/2}\otimes (X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T))K]^T\\&=K^T\mathop{\mathrm{vec}}((X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T)^TW\Sigma^{-1/2}_{X\Gamma_1})\\&=\mathop{\mathrm{diag}}((X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T)^TW\Sigma^{-1/2}_{X\Gamma_1})\end{align}$

W = a^{'} (b (X Γ_{1})) ⊙ - 2 \hat{ϵ} Γ_{2}^{T}

$W=a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T$

K

$K$

N p \times p

$Np\times p$ 选择与方形矩阵的对角元素相对应的Kronecker乘积列的二进制矩阵。这是基于的事实。与第一个渐变不同，此表达式不等于您导出的表达式。考虑到是线性函数WRT，不应该有一个因素在梯度。我将的梯度了OP，但是对于固定推导，我会说，本文的作者试图避免这种“爆炸”。实际上，您还需要找到和 wrt的雅可比行列式

d Γ_{i \neq j} = 0

$d\Gamma_{i\neq j}=0$

b

$b$

γ_{i}

$\gamma_i$

γ_{i}

$\gamma_i$

Γ_{1}

$\Gamma_1$

w

$w$

Σ_{X}

$\Sigma_X$

μ_{X}

$\mu_X$

X

$X$ 并使用产品规则。

— Deasmhumnha
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