将随机变量插入自己的pdf或cdf背后的直观含义是什么？

pdf通常写为，其中小写字母被视为具有该pdf 的随机变量的实现或结果。类似地，cdf被写为，其含义为。但是，在某些情况下，例如评分函数的定义以及cdf是均匀分布的推导，似乎随机变量插入了它自己的pdf / cdf中。这样，我们得到一个新的随机变量或 $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ 。我不认为我们可以再称它为pdf或cdf，因为它现在本身就是一个随机变量，在后一种情况下，“解释”对我来说似乎是胡说八道。 $F_X(X)=P(X<X)$

此外，在上述后一种情况下，我不确定我是否理解“随机变量的cdf遵循均匀分布”的说法。cdf是函数，不是随机变量，因此没有分布。相反，具有均匀分布的是使用代表其自己的cdf的函数转换的随机变量，但是我不明白为什么这种转换有意义。评分函数也是如此，在评分函数中，我们将一个随机变量插入表示其自己的对数似然性的函数中。

数周以来，我一直在拼搏，试图在这些转变背后找到一种直观的含义，但我被困住了。任何见识将不胜感激！

— 麦
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该符号可能会使您感到困惑。例如，与将任何可测量函数应用于一样有意义。为了获得正确的解释，您需要非常清楚随机变量是什么。对于任何随机变量函数为清楚地是一个随机变量，因此具有分布（请注意，“ ”中符号“ ” 的两种不同含义。）当且仅当具有连续分布时，才是统一的。

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

这实际上不是度量理论问题：要理解它，您可以放心地忽略所有对“可度量性”的引用。您可能会在研究生生涯的初期学习一点定型理论而受益：大多数人在这里学习这种基本（且无处不在）的数学术语和符号的真正含义，因此最好不要推迟学习它。

— ub

也许一句话为什么要做这样的疯狂事情：将RV插入自己的密度！？！一个例子：假设您想估计X的密度，然后可以通过对进行积分来衡量自己的好坏，但这是“不公平的”：如果没有，则永远无法获得良好的近似值大量的数据示例（即真实密度很小）。因此，“公平”的评估将是用真实密度对术语进行加权。这或多或少是将RV插入自己的密度中的效果……

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$

— Fabian Werner，

另请参见stats.stackexchange.com/questions/324768/...

— 法比安沃纳

Answers:

就像您说的那样，随机变量的任何（可衡量的）函数本身就是随机变量。将和视为“任何旧函数” 会更容易。它们恰好具有一些不错的特性。例如，如果是一个标准指数RV，那么就没有什么特别奇怪的随机变量碰巧是。具有均匀分布的事实（鉴于 $f(x)$ $F(x)$ $X$

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$

Y

$Y$

X

$X$ 通过推导

的CDF可以看到一般情况下的连续RV 。

Y

$Y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

$U(0,1)$ $F_X(x)$

— 克鲁姆西
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F_{X}

$F_X$

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$

X

$X$

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X}

$F_X$

[0, 1] .

$[0,1].$

$X$ $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ $Y=T(X)$

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$

A

$A$

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$

X

$X$

$F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ $X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $Y$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $U$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X^{-}(U)$ $X$ $F_X^{-}$ $F_X$ $\omega\in\Omega$ $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ $F_X$ $F_X$

$\mathbb{P}(X\le X)$

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

d λ

$\text{d}\lambda$

f_{X}

$f_X$

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$

X

$X$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$

X_{2}

$X_2$

$f_X(X)$ $f_X$ $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ $\chi^2$

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$

θ

$\theta$

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[在@whuber和@knrumsey分别输入答案时输入答案！]

— 西安
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F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

是的，我同意他们不是同一回事。第一种情况不是rv，第二种情况是rv我正确吗？

— 麦

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$