如何计算对数正态数据集平均值的置信区间？

我在很多地方都听说过/可以通过获取每个样本的对数来将数据集转换为正态分布的东西，计算转换后的数据的置信区间，并使用逆运算将其转换回（例如，将分别提高10到下限和上限的幂）。$\log_{10}$

但是，我对此方法有点怀疑，仅仅是因为它不适用于平均值：$10^{\operatorname{mean}(\log_{10}(X))} \ne \operatorname{mean}(X)$

正确的方法是什么？如果它对均值本身不起作用，那么如何在均值的置信区间内起作用？

有几种计算对数正态分布平均值的置信区间的方法。我将介绍两种方法：引导程序和概要文件可能性。我还将介绍有关杰弗里斯事前的讨论。

引导程序

对于MLE

在这种情况下，的MLE对样品是$(\mu,\sigma)$$(x_1,...,x_n)$

$$\hat\mu= \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n\log(x_j);\,\,\,\hat\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n(\log(x_j)-\hat\mu)^2.$$

然后，平均值的MLE为。通过重新采样，我们可以获得的引导样本，并使用此样本，可以计算出多个引导置信区间。以下代码显示了如何获取它们。$\hat\delta=\exp(\hat\mu+\hat\sigma^2/2)$$\hat\delta$R

rm(list=ls())
library(boot)

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Statistic (MLE)

mle = function(dat){
m = mean(log(dat))
s = mean((log(dat)-m)^2)
return(exp(m+s/2))
}

# Bootstrap
boots.out = boot(data=data0, statistic=function(d, ind){mle(d[ind])}, R = 10000)
plot(density(boots.out$t))

# 4 types of Bootstrap confidence intervals
boot.ci(boots.out, conf = 0.95, type = "all")

对于样本均值

现在，考虑到估计$\tilde{\delta}=\bar{x}$代替MLE。也可以考虑其他类型的估计量。

rm(list=ls())
library(boot)

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Statistic (MLE)

samp.mean = function(dat) return(mean(dat))

# Bootstrap
boots.out = boot(data=data0, statistic=function(d, ind){samp.mean(d[ind])}, R = 10000)
plot(density(boots.out$t))

# 4 types of Bootstrap confidence intervals
boot.ci(boots.out, conf = 0.95, type = "all")

轮廓可能性

有关似然和轮廓似然函数的定义，请参见。使用我们可以reparameterise的可能性的不变性性质如下$(\mu,\sigma)\rightarrow(\delta,\sigma)$，其中，$\delta=\exp(\mu+\sigma^2/2)$，然后计算数值的简档的可能性$\delta$。

$$R_p(\delta)=\dfrac{\sup_{\sigma}{\mathcal L}(\delta,\sigma)}{\sup_{\delta,\sigma}{\mathcal L}(\delta,\sigma)}.$$

该函数取值；级别为的间隔的置信度约为。我们将使用此属性为构造置信度间隔。以下代码显示如何获取此间隔。$(0,1]$$0.147$ 95 ％δ$95\%$$\delta$R

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Log likelihood
ll = function(mu,sigma) return( sum(log(dlnorm(data0,mu,sigma))))

# Profile likelihood
Rp = function(delta){
temp = function(sigma) return( sum(log(dlnorm(data0,log(delta)-0.5*sigma^2,sigma)) ))
max=exp(optimize(temp,c(0.25,1.5),maximum=TRUE)$objective     -ll(mean(log(data0)),sqrt(mean((log(data0)-mean(log(data0)))^2))))
return(max)
}

vec = seq(1.2,2.5,0.001)
rvec = lapply(vec,Rp)
plot(vec,rvec,type="l")

# Profile confidence intervals
tr = function(delta) return(Rp(delta)-0.147)
c(uniroot(tr,c(1.2,1.6))$root,uniroot(tr,c(2,2.3))$root)

$\star$贝叶斯

在本节中，提出了一种基于Metropolis-Hastings采样和使用Jeffreys Prior的替代算法，用于计算的可信区间。$\delta$

回想一下，现有杰弗瑞斯为在对数正态模型是$(\mu,\sigma)$

$$\pi(\mu,\sigma)\propto \sigma^{-2},$$

并且该先验在重新参数化下是不变的。该先验是不适当的，但是如果样本大小为，则参数的后验是正确的。以下代码显示了如何使用此贝叶斯模型获得95％的可信区间。$n\geq 2$R

library(mcmc)

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Log posterior
lp = function(par){
if(par[2]>0) return( sum(log(dlnorm(data0,par[1],par[2]))) - 2*log(par[2]))
else return(-Inf)
}

# Metropolis-Hastings
NMH = 260000
out = metrop(lp, scale = 0.175, initial = c(0.1,0.8), nbatch = NMH)

#Acceptance rate
out$acc

deltap = exp(  out$batch[,1][seq(10000,NMH,25)] + 0.5*(out$batch[,2][seq(10000,NMH,25)])^2  )

plot(density(deltap))

# 95% credibility interval
c(quantile(deltap,0.025),quantile(deltap,0.975))

请注意，它们非常相似。

您可以尝试用杰弗里斯（Jeffreys）的贝叶斯方法。它应产生具有正确的频繁匹配属性的可信区间：可信区间的置信度接近其可信度。

 # required package
 library(bayesm)

 # simulated data
 mu <- 0
 sdv <- 1
 y <- exp(rnorm(1000, mean=mu, sd=sdv))

 # model matrix
 X <- model.matrix(log(y)~1)
 # prior parameters
 Theta0 <- c(0)
 A0 <- 0.0001*diag(1)
 nu0 <- 0 # Jeffreys prior for the normal model; set nu0 to 1 for the lognormal model
 sigam0sq <- 0
 # number of simulations
 n.sims <- 5000

 # run posterior simulations
 Data <- list(y=log(y),X=X)
 Prior <- list(betabar=Theta0, A=A0, nu=nu0, ssq=sigam0sq)
 Mcmc <- list(R=n.sims)
 bayesian.reg <- runireg(Data, Prior, Mcmc)
 mu.sims <- t(bayesian.reg$betadraw) # transpose of bayesian.reg$betadraw
 sigmasq.sims <- bayesian.reg$sigmasqdraw

 # posterior simulations of the mean of y: exp(mu+sigma²/2)
 lmean.sims <- exp(mu.sims+sigmasq.sims/2)

 # credibility interval about lmean:
 quantile(lmean.sims, probs = c(0.025, 0.975))

但是，我对此方法有点怀疑，只是因为它不适用于平均值本身：10mean（log10（X））≠mean（X）

您是对的-这是几何平均值的公式，而不是算术平均值。算术平均值是来自正态分布的参数，通常对对数正态数据意义不大。如果您想更有意义地谈论数据的集中趋势，则几何平均值是对数正态分布中的相应参数。

实际上，您可以通过取数据的对数，照常计算平均值和CI并进行反变换来计算有关几何平均值的CI。没错，您真的不想通过将几何平均值的CI放在算术平均值周围来混合您的分布。。。