GLM输出中的色散参数

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我已经在R中看到了一点，在summary()输出的底部附近，它指出

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 28.35031)

我在Google上进行了一些摸索，并了解到散度参数用于适应标准误差。我希望有人可以提供更多有关分散参数是什么以及应如何解释的详细信息？

r generalized-linear-model

— 卢西亚诺
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探索此问题的一种方法是尝试使用不同的工具拟合相同的模型，这是一个示例：

> fit1 <- lm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> fit2 <- glm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> summary(fit1)

Call:
lm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.79424 -0.21874  0.00899  0.20255  0.73103 

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3068 on 144 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8673,     Adjusted R-squared: 0.8627 
F-statistic: 188.3 on 5 and 144 DF,  p-value: < 2.2e-16 

> summary(fit2)

Call:
glm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Deviance Residuals: 
     Min        1Q    Median        3Q       Max  
-0.79424  -0.21874   0.00899   0.20255   0.73103  

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 0.09414226)

    Null deviance: 102.168  on 149  degrees of freedom
Residual deviance:  13.556  on 144  degrees of freedom
AIC: 79.116

Number of Fisher Scoring iterations: 2

> sqrt( 0.09414226 )
[1] 0.3068261

因此，您可以看到线性模型的残差标准误差只是glm色散的平方根，换句话说，色散（对于高斯模型）与均方差相同。

— 格雷格·斯诺（Greg Snow）
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让我们推测一下您的数据中没有协变量信息的简单情况。假设您只有观测值。 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \in \mathbb{R}$

如果您使用正态分布来建模数据，则可能会这样写

$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ ，

然后尝试通过最大似然估计来估计和。 $\mu$ $\sigma$

但是，假设您的数据是计数数据，因此不是正态分布的。这种情况甚至都不是连续的，因此您可以使用泊松分布：

$Y_i \sim Poisson(\lambda)$ 。

但是，这里只有一个参数！单个参数通过和确定均值和方差。当您使用伯努利分布或二项分布时，也会发生这种情况。但是，您的数据可能会有较大或较小的方差，这可能是因为观察结果并不是真正的iid，或者您选择的分布不够真实。 $\lambda$ $\mathbb{E}[Y_i] = \lambda$ $Var[Y_i] = \lambda$

因此，人们可以添加弥散参数，以在建模均值和方差的同时获得额外的自由度。我想关于GLM的任何教科书都可以为您提供更详细的数学解释，但是我相信这样做的动机非常简单。

— d_ijk_stra
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