为什么？

15

我想

P (A | B) = P (A | B, C) * P (C) + P (A | B, \neg C) * P (\neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$

是正确的，而

P (A | B) = P (A | B, C) + P (A | B, \neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$

是不正确的。

但是，我对后一种情况有一个“直觉”，也就是说，通过拆分两种情况（C或Not C）来考虑概率P（A | B）。为什么这种直觉是错误的？

probability bayesian

— 泽尔
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4

这是测试您的方程式的简单示例。投掷两个独立的公平硬币。假设是第一个出现正面的事件，是第二个出现正面的事件，是两个都出现正面的事件。是要么你写公式是否正确？

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— A. Rex

4

在全概率公式说，如果你想表达的无条件概率条件概率的总和，必须通过调理事件重量：如

P (A) = P (A | B) P (B) + P (A | \bar{B}) P (\bar{B})

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— ADAMO

25

假设，作为一种简单的计数器例如，概率 $P(A)$ 的 $A$ 是 $1$ ，而不管值的 $C$ 。然后，如果我们采用不正确的方程式，则会得到：

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

那显然是不正确的，a可能不能大于 $1$ 。这有助于建立一种直觉，即应该为两种情况中的每种情况分配与该情况发生的可能性成比例的权重~~，从而得出第一个（正确的）等式。~~。

这使您更接近第一个方程式，但是权重并不完全正确。有关正确的重量，请参见A. Rex的注释。

— 丹尼斯·苏默斯（Dennis Soemers）
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1

应在“第一个（正确的）方程”的权重为

P (C)

$P(C)$ 和

P (\neg C)

$P(\neg C)$ ，或者他们应该是

P (C ∣ B)

$P(C\mid B)$ 和

P (\neg C ∣ B)

$P(\neg C\mid B)$ ？

— A. Rex

@ A.Rex这是一个很好的点，完全正确，我认为它应该是

P (C | B)

$P(C | B)$ 和

P (\neg C | B)

$P(\neg C | B)$ 。等式左侧的所有内容（仅是一个术语）都假设

B

$B$ 是给定的，因此在没有任何其他假设（例如

B

$B$ 和

C

$C$ 彼此独立）的情况下，右边的情况应该相同-手侧

— 丹尼斯Soemers

只需考虑A | B肯定会发生200％。

— 马克·L·斯通

@ MarkL.Stone这是否意味着它总是发生两次？;）

— 恢复莫妮卡

9

丹尼斯的答案有一个很好的反例，证明了错误的方程式。该答案试图解释以下方程式为何正确：

P （ 一种 | 乙 ） = P （ 一种 | C ， 乙 ） P （ C | 乙 ） + P （ 一种 | \neg C ， 乙 ） P （ \neg C | 乙 ） 。

$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$

由于每个术语上调理，我们可以通过更换整个概率空间和降项。这给了我们： $B$ $B$ $B$

P （ 一种 ） = P （ 一种 | C ） P （ C ） + P （ 一种 | \neg C ） P （ \neg C ） 。

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$

然后你会问，为什么这个方程有和而言它。 $P(C)$ $P(\neg C)$

其原因是是部分在和是部分在和两个加起来。参见图。在另一方面是比例含和 $P(A|C) P(C)$ $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ $A$ $\neg C$ $A$ $P(A|C)$ $C$ $A$ 是比例含 -这些是不同的区域的比例，从而它们不具有共同点，以便将它们添加是毫无意义的。 $P(A|\neg C)$ $\neg C$ $A$

— 恢复莫妮卡
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2

不是“一切都以

为条件”。特别是，

和

都没有，所以你不能刚落，

。此外，这可能表明方程式是错误的！

B

$B$

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

B

$B$

— A. Rex

@ A.Rex从技术上您是对的，我应该说每个涉及

术语都以

为条件（我做了一个简单的替换

）。我会纠正答案。

A

$A$

B

$B$

A | B \to A

$A|B \rightarrow A$

— 恢复莫妮卡

5

我的反对不是技术性的。您的图正确地证明了

，其在调理后

变为

P (A) = P (A ∣ C) P (C) + P (A ∣ \neg C) P (\neg C)

$P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$

B

$B$

; 注意的概率

和

也在空调上

。这不是OP中给出的第一个方程，这是个好消息，因为OP中给出的第一个方程是不正确的。

P (A ∣ B) = P (A ∣ B, C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B, \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$

C

$C$

\neg C

$\neg C$

B

$B$

— A. Rex

@ A.Rex再次正确，

还必须以

为条件，因为

包含的概率空间的比例可能与

包含的

的比例不同。这一点逃避了我。我会再次修改。

C

$C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

— 恢复莫妮卡

7

我知道您已经收到了两个很好的答案，但是我只是想指出如何将您的直觉背后的想法变成正确的方程式。

首先，记住和等价。 $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

为避免出错，我们将使用上一段中的第一个方程式消除所有条件概率，然后继续重写涉及事件的相交和并集的表达式，然后使用上一段中的第二个方程式在末尾重新引入条件。因此，我们先从：

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

我们将继续重写右侧，直到获得所需的方程式为止。

在你的直觉的个案扩展事件成，得到 $A$ $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

P (A ∣ B) = \frac{P (((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$

与集，交集分布在联合：

P (A ∣ B) = \frac{P ((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$

由于在分子被联合在一起的两个事件是互斥的（因为和不能同时出现），我们可以使用求和规则： $C$ $\neg C$

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A \cap B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$

现在我们看到， ; 因此，如果您将给定事件（“右侧”）保持不变，则可以在感兴趣事件（条件栏的“左侧”）上对事件使用求和规则。这也可以用作其他等式证明的一般规则。 $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

我们使用第二方程中的第二项重新引入所需的条件语句：同样地，对于。

P (A \cap (B \cap C)) = P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)

$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$

\neg C

$\neg C$

我们堵塞这个到我们的公式为： $P(A \mid B)$

P （ 一种 ∣ 乙 ） = \frac{P （ 一种 ∣ 乙 \cap C ） P （ 乙 \cap C ）}{P （ 乙 ）} + \frac{P （ 一种 ∣ 乙 \cap \neg C ） P （ 乙 \cap \neg C ）}{P （ 乙 ）}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$

注意到（同样地，对于），我们终于得到 $\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ $\neg C$

P （ 一种 ∣ 乙 ） = P （ 一种 ∣ 乙 \cap C ） P （ C ∣ 乙 ） + P （ 一种 ∣ 乙 \cap \neg C ） P （ \neg C ∣ 乙 ）

$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$

这是正确的方程式（尽管符号略有不同），包括修正A. Rex指出。

注意，变成。此反射镜的方程通过添加条件不仅和 $P(A \cap C \mid B)$ $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$ $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ $B$ $P(A \cap C)$ $P(A \mid C)$ $P(C)$

— YawarRaza7349
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2

P (A ∣ B) = P (A \cap C ∣ B) + P (A \cap \neg C ∣ B)

$P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$

谢谢！那是我要提出的主要观点，但是无法弄清楚为什么交集在左边而不是右边，所以我改用公式。另外，我只是注意到您是指出OP公式错误的人，因此我将其归功于您。（我也可能不会注意到，大声笑。）

— YawarRaza7349 '18

2

概率是比率；给定B的概率是A在B空间中发生的频率。例如， $P(\text{rain|March})$ 是3月的雨天数除以3月的总天数。在处理分数时，拆分分子是有意义的。例如，

\begin{aligned} P （ 雨或雪|三月 ） & = \frac{（ 三月的阴雨天数 ）}{（ 三月份的总天数 ）} \\ = \frac{（ 三月的雨天数 ）}{（ 三月份的总天数）} + \\ \frac{（3月的下雪天数）}{（ 三月份的总天数）} \\ = P （ 雨|三月 ） + P （ 雪|三月 ） \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$

当然，这假定“雪”和“雨”是互斥的。但是，分母是没有意义的。所以如果你有 $P(\text{rain|February or March})$ ，等于

\frac{（ 2月和3月的阴雨天数 ）}{（ 二月和三月的总天数 ）} 。

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$

但这不等于

\frac{（ 二月的雨天数 ）}{（ 2月的总天数 ）} + \frac{（ 三月的雨天数）}{（ 三月份的总天数）} 。

$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$

如果您看不到这些，可以尝试一些数字。假设2月有10个雨天，3月有8个雨天。那我们有

\frac{（ 2月和3月的阴雨天数 ）}{（ 2月和3月的总天数）} = （ 10 + 8 ） / （ 28 + 31 ） = 29.5 ％

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$

和

\begin{aligned} \frac{（ 二月的雨天数 ）}{（ 2月的总天数）} + \frac{（ 三月的雨天数）}{（ 三月份的总天数）} & = （ 10 / 28 ） + （ 8 / 31 ） \\ = 35.7 ％ + 25.8 ％ \\ = 61.5 ％ \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$

第一个数字为29.5％，分别为35.7％和25.8％的平均值（第二个数字的权重稍高，因为3月的工作日更长）。当你说 $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ 你是说 $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$ ，这是错误的。

— 积累
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1

如果去西班牙，我会被晒伤。

P （ s ü ñ b ü [R ñ Ť | 小号 p 一种 一世 ñ ） = 0.2

$P(sunburnt | Spain)=0.2$ 假设我不去西班牙，不会告诉我晒伤

P （ s ü ñ b ü [R ñ Ť | \neg 小号 p 一种 一世 ñ ） = 0.1

$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$ 今年我要去西班牙，所以

P （ s ü ñ b ü [R ñ Ť ） = 0.2

$P(sunburnt)=0.2$ 出租

B = Ω

$B=\Omega$ ，这是，

P (B) = 1

$P(B)=1$ ，你的直觉暗示

P （ 一种 ） = P （ 一种 | C ） + P （ 一种 | \neg C ）

$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$ 根据前面的说法，这不一定是正确的。

— 警长
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