标准错误如何工作？

最近，我一直在研究标准错误的内部机制，但发现自己无法理解它的工作原理。我对标准误差的理解是它是样本均值分布的标准偏差。我的问题是：

•当我们通常只采集一个样本时，我们如何知道标准误差是样本均值的标准偏差？

•为什么计算标准误差的方程式不能反映单个样品的标准偏差方程式？

是的，平均值的标准误差（SEM）是平均值的标准偏差（SD）。（标准误差是表示抽样分布的SD的另一种方式。在这种情况下，抽样分布是固定大小样本（例如N）的均值。）SEM和总体SD之间存在数学关系：SEM =总体SD / N的平方根。这种数学关系非常有用，因为我们几乎从来没有对SEM进行直接估计，但确实有对种群SD（即样本的SD）的估计。关于第二个问题，如果您要收集多个大小为N的样本并计算每个样本的均值，则只需计算均值的SD即可估算SEM。因此，SEM的公式确实反映了单个样品的SD公式。

假设是独立的并且分布相同。我很确定您所指的就是这种情况。让他们共同的平均性能μ和他们共同的方差是σ 2。$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

现在样本均值为。 期望线性表明X b的平均值也是μ。独立性假设意味着方差X b是的总和方差的条款。每一个这样的术语X 我/ Ñ 具有方差σ 2 / Ñ 2 （因为一个常数乘以方差的随机变量是恒定的平方乘以随机变量的方差）。我们有$X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$相同地分布这样的变量求和，因此每个项都具有相同的方差。其结果是，我们得到为样本均值的方差。$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

通常我们不知道，所以我们必须从数据估算它。根据设置，有多种方法可以执行此操作。的两种最常用的，通用型的估计σ 2是样本方差小号2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ 及其小倍数，s 2 u =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$（这是一个无偏估计σ2）。代替使用这些任一个σ2在前面的段落和取平方根给出的形式的标准误差小号/$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$或su/$s/\sqrt{n}$。$s_u/\sqrt{n}$

为两个@JoelW +1。＆@MichaelChernick。我想在@JoelW。的答案中添加一个细节。他指出，“我们几乎永远不会对SEM进行直接估算”，这实际上是正确的，但是值得明确承认该声明的警告。具体来说，当一项研究比较多个组/治疗方法（例如，安慰剂与标准药物与新药）时，通常使用ANOVA来查看它们是否相等。零假设是每个组均来自同一总体，因此，所有三个均值都是总体均值的估计值。也就是说，标准ANOVA中的原假设假设您确实具有 SEM的直接估计值。考虑方程手段的采样分布的方差： 其中σ 2 p ø p是总体方差，和ÑĴ是组的数目。虽然我们通常不会以这种方式进行计算，我们可以简单地使用标准公式来插上的估计值，并以最小的代数洗牌，形成˚F统计，像这样： ˚F=ñĴ×小号 2 ˉ

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ $\sigma^2_{pop}$$n_j$$F$ 在这种情况下，我们确实将使用标准公式（仅施加在组装置），即： s ^ 2 ˉ X =Σ Ñ Ĵ Ĵ = 1（ ˉ X Ĵ- ˉ X。） $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ 其中x。作为组均值的平均值。 $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ $x_.$

因为我们通常认为无效假设是不正确的，所以@JoelW。的观点是正确的，但是我一直坚持到这一点，因为我认为它提供的清晰性有助于理解这些问题。