是否在线性组合下保留平稳性？

想象一下，我们有两个固定的时间序列过程，产生：。$x_t,y_t$

是，也是静止的？＆ForAll; α ，β ＆Element; $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

任何帮助，将不胜感激。

我会说是的，因为它具有MA表示形式。

也许令人惊讶的是，事实并非如此。 （但是，两个时间序列的独立性将使其成立。）

我将“稳定”理解为平稳，因为这些词在数百万个搜索结果中似乎可以互换使用，包括我们网站上的至少一个。

作为反例，令为一个非恒定的平稳时间序列，其每个独立于，并且其边际分布在附近对称。限定$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

这些图显示了本文中讨论的三个时间序列的一部分。 被模拟为来自标准正态分布的一系列独立绘制。$X$

为了证明是固定的，我们需要证明对于任何的的联合分布不依赖于。但这直接源自的对称性和独立性。 $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

这些滞后散点图（为512个值的序列）示出的关节二元分布断言如预期：独立的和对称的。（“滞后散点图”显示对于值；显示值。）$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

不过，选择，我们有$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

甚至，否则$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

由于是非恒定的，因此对于任何和，这两个表达式显然具有不同的分布，因此系列不是平稳的。第一个图中的颜色通过将零值与其余值区分开来突出了的这种非平稳性。$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

考虑二维过程

$$w_t = (x_t, y_t)$$

如果它是严格固定的，或者过程和是联合严格固定的，则由任何可测量函数也将严格固定。$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

在@whuber的示例中，我们有

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

要检查此是否严格平稳，我们必须首先获得其概率分布。假设变量是绝对连续的。对于某些，我们有 Ç ∈ $w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

继续whuber的例子，两个分支是不同的概率分布，因为的分布对称于零。 $x_t$

现在要检查严格平稳性，将索引移位整数。我们有$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

为了严格平稳，我们必须

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

而且我们没有等式，因为，例如，如果为偶数且为奇数，则为奇数，在这种情况下$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

而

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

因此，我们没有严格的联合平稳性，因此我们不能保证函数将发生什么。 $f(x_t,y_t)$

我必须指出，和之间的依赖关系是失去联合严格平稳性的必要条件，但不是充分条件。这是依赖于完成该工作的索引的附加假设。$x_t$$y_t$$y_t$

考虑

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

如果对做先前的工作，就会发现这里存在联合严格平稳性。$(q_t)$

这是一个好消息，因为要依赖索引并严格固定的过程不在我们经常需要进行的建模假设之列。因此，实际上，如果我们具有边际严格平稳性，那么即使在存在依赖的情况下，我们也期望联合严格平稳性（尽管我们当然应该进行检查。）

我会说是的，因为它具有MA表示形式。

一种观察。我认为拥有MA表示意味着平稳性差，不确定是否意味着强烈的平稳性。