我正在尝试建模和预测一个周期性而不是季节性的时间序列（即存在类似季节性的模式，但没有固定的时间段）。可以使用ARIMA模型来做到这一点，如“ 预测：原理和实践”第8.5节所述：

如果数据显示周期，则的值$p$很重要。为了获得环预测，有必要具有$p\geq 2$与对参数的一些附加条件一起。对于AR（2）模型，如果，则会发生循环行为$\phi^2_1+4\phi_2<0$。

在一般ARIMA（p，d，q）情况下，参数的这些附加条件是什么？我到处都找不到。

一些图形直觉

在AR模型中，循环行为从复共轭根到特征多项式。首先给出直觉，我将下面的脉冲响应函数绘制到两个示例AR（2）模型上。

1. 具有复杂根源的持久过程。
2. 具有真正根源的持久过程。

对于$j=1\,\ldots, p$，特征多项式的根为$\frac{1}{\lambda_j}$其中$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$是特征值$A$矩阵I下面定义。与复共轭本征值$\lambda = r e^{i \omega t}$和$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$时，$r$控制阻尼（其中，$r \in [0, 1)$）和$\omega$控制余弦波的频率。

详细的AR（2）示例

假设我们有AR（2）：

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

您可以将任何AR（p）编写为VAR（1）。在这种情况下，VAR（1）表示为：

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ 矩阵$A$支配$X_t$和$y_t$动力学。矩阵特征方程$A$是： $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ 的特征值$A$为： $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ 的特征向量$A$是： $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

注意，$\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$。形成特征值分解并将$A$提高到第$k$次方。

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

一个真正的特征值$\lambda$导致衰减为你提高$\lambda^k$。具有非零虚分量的特征值会导致循环行为。

虚部情况下的特征值：$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

在AR（2）上下文中，如果$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$，则我们具有复特征值。因为$A$是真实的，它们必须是成对出现的是共轭复数对方。

根据Prado and West（2010）的第2章，令

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

您可以显示预测$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$由下式给出：

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

松散地说，添加复共轭会抵消它们的虚部，从而使您在实数空间中只有一个阻尼余弦波。（注意我们必须有$0 \leq r < 1$为平稳。）

如果你想找到$r$，$\omega$，$a_t$，$\theta_t$，通过启动欧拉公式是$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$，我们可以这样写：

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

附录

注意令人困惑的术语警告！将A的特征多项式与AR（p）的特征多项式相关

另一个时间序列技巧是使用lag运算符将AR（p）编写为：

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

参考文献

Prado，Raquel和Mike West，《时间序列：建模，计算和推理》，2010年