研究生学校是否过分强调了最小方差理论的无偏估计？

最近，当我给出一个关于均匀分布参数的最小方差无偏估计的结论时，我感到非常尴尬。幸运的是，红衣主教和亨利立即纠正了我，亨利为OP提供了正确的答案。

这让我思考。大约37年前，我在斯坦福大学的数学研究生课程中学习了最佳无偏估计量的理论。我有Rao-Blackwell定理，Cramer-Rao下界和Lehmann-Scheffe定理的回忆。但是，作为一名应用统计学家，我对日常生活中的UMVUE的考虑并不多，而最大似然估计的出现却很多。

这是为什么？我们在研究生院是否过分强调UMVUE理论？我认同。首先，无偏不重要。许多完美的MLE都有偏差。斯坦因收缩估计量是有偏差的，但在均方误差损失方面占主导地位。这是一个非常漂亮的理论（UMVUE估计），但是非常不完整，我认为不是很有用。别人怎么看？

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— Michael Chernick
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（+1）我同意这将对主站点提出一个很好的问题，并将对此进行投票。它有些主观，因此最好将其作为CW问题。（而且，没有理由感到尴尬。）

— 红衣主教2012年

我认为一般而言，这种估计并不为过。我记得我的教授曾经更多地关注UMVUE是“傻”的例子。为了安全起见，人们倾向于使用属于流行理论的点估计量，但是有一个完整的方程估计理论。一些教授专注于UMVUE，因为它们是作业困难问题的良好来源。我认为，与找到UMVUE（并不总是存在）相比，如今减少偏见是一种更为流行和有用的理论。

我猜我们在UMVUE上看到很多问题，因为它们带来了很好的作业问题。也许与本科生和硕士学位相比，与博士课程相比，这更是一个问题。

— Michael R. Chernick 2012年

好吧，UMVU估算是一个经典的主意，因此也许应该因为这个原因而被教导？这是讨论/批评公正性等标准的良好起点！仅仅因为它们在实践中使用不多，本身就没有理由不教它们。

— kjetil b halvorsen 2012年

重点可能会随时间和部门而变化。我的部门在第一年的数学统计课程中介绍了该材料，但是在那之后它已经消失了，所以我不能合理地说它过分强调了（即使在博士推理课程中，通常也不会讲授它，而是推荐更多内容）尽管我希望更多地强调为什么偏见是有用的东西，因此为什么无偏估计是不必要的极端范式，但是贝叶斯和最小极大估计，可容许性和多元估计仍然是一个重要的时间。

— 家伙

Answers:

我们知道

如果是来自的随机样本，那么对于任何是的UE $X_1,X_2, \dots X_n$ $Poisson(\lambda)$ $\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$ $\lambda$

因此，存在无限多个 UE 。现在出现一个问题，我们应该选择哪一个？所以我们称UMVUE。没有偏见并不是一个好的特性，但是UMVUE是一个好的特性。但这不是很好。 $\lambda$

如果是的随机样本，则最小MSE估计器的形式为，其中参数是但是有偏见的是，尽管就最小MSE而言它不是UMVUE，但这不是最好的。 $X_1,X_2, \dots X_n$ $N(\mu, \sigma^2)$ $T_\alpha =\alpha S^2$ $(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$ $\sigma^2$ $\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

注意，饶-布莱克韦尔定理说，要找到UMVUE，我们只能集中于那些具有足够统计量的函数的UE，即 UMVUE是在具有充分统计量的函数的所有UE中具有最小方差的估计量。因此，UMVUE必然是足够统计量的函数。

从观点来看，MLE和UMVUE都不错。但是我们永远不能说其中之一比其他更好。在统计中，我们处理不确定和随机的数据。因此，总有改进的余地。我们可能会得到比MLE和UMVUE更好的估算器。

我认为我们在研究生院不会过分强调UMVUE理论，这纯粹是我个人的观点。我认为毕业阶段是学习阶段。因此，研究生必须要对UMVUE和其他估算器有一个良好的基础，

— Argha
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我认为任何有效的推理理论都是好知识。虽然无偏见可以是一个好属性，但偏见并不一定是坏的。当强调UMVUE时，可能会倾向于将“最优性”归因于UMVUE。但是在无偏估计量类别中可能没有任何非常好的估计量。准确性很重要，它涉及偏差和方差。关于MLE的更好之处在于，在某些情况下可以证明它是渐近有效的。

— Michael R. Chernick

请注意，Rao-Blackwell定理也可用于改进任何有偏估计量，从而产生具有相同偏倚的改进估计量。

— kjetil b halvorsen

也许布拉德·埃夫隆（Brad Efron）的论文“最大可能性和决策理论”可以帮助阐明这一点。布拉德提到，使用UMVUE的主要困难是它通常很难计算，并且在许多情况下不存在。

— 剑涛角
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