均值平方的无偏正估计

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假设我们有真正的（不明）从分布获得独立同分布的样本均值和方差，我们要估计。 $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

我们如何构造一个无偏的，始终为正的估计量？

以样本均值的平方被偏置，并且将高估的数量，电除尘器。如果接近于0和是大的。 $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

这可能是一个琐碎的问题，但我的Google技术让我失望，因为estimator of mean-squared只有回报mean-squarred-error estimators

如果使事情变得容易，则可以将基础分布假定为高斯分布。

解：

mean unbiased-estimator

— 眨眼
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也许是搜寻均方的估计量或均方的估计量。在阅读您的标题时，我也感到困惑（就像Google一样），因此我对其进行了编辑以使其更加直观。

— 理查德·哈迪

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注意，样本均值 $\bar{X}$ 是也正态分布的，均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2/n$ 。这意味着

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

如果所有你关心的是一个无偏估计，可以使用一个事实，即样本方差是公正的 $\sigma^2$ 。这意味着估计

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$ 是无偏为

μ^{2}

$\mu^2$ 。

— 克鲁姆西
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\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

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(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@Winks这就是为什么这是一个荒谬的，无偏估计量的例子。

— StubbornAtom

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

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$\mu^2$

如果真实均值为0，则估计量必须按预期返回0，但不允许输出负数，因此也将不允许其输出正数，因为这样会产生偏差。因此，无论样本数如何，均值为0时，始终无偏且始终为正的估计量必须始终返回正确的答案，这似乎是不可能的。

$\mu^2$

— 眨眼
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吉姆·伯杰（Jim Berger）有一篇相当古老的论文证明了这一事实，但我无法追踪。这个问题也出现在蒙特卡洛，带有像俄罗斯轮盘赌这样的估计偏差。

— 西安