考试的结果是二项式的吗？

这是我得到的一个简单的统计问题。我不太确定我是否理解。

X =考试中获得的分数（多项选择和正确答案是1分）。X二项式分布吗？

教授的答案是：

是的，因为只有正确或错误的答案。

我的答案：

不，因为每个问题都有不同的“成功概率” p。据我所知，二项式分布只是一系列的伯努利实验，每个实验都有一个简单的结果（成功或失败），并且具有给定的成功概率p（并且所有关于p都是“相同的”）。例如，将（普通）硬币翻转100次，这就是100次Bernoulli实验，所有实验都具有p = 0.5。但是这里的问题有不同的p对吗？

我会同意你的回答。通常，如今，这类数据将使用某种项目响应理论模型进行建模。例如，如果使用Rasch模型，则二进制答案将被建模为$X_{ni}$

其中可以看作个个人能力和为个问题的难度。因此，该模型使您可以发现以下事实：不同的人的能力不同，问题的难度也不同，这是IRT模型中最简单的一种。$\beta_n$$n$$\delta_i$$i$

您的教授的答案假设所有问题的“成功”概率均相同且是独立的，因为二项式是 iid Bernoulli试验总数的分布。它忽略了上述两种依赖关系。$n$

正如评论中所指出的，如果您查看特定人的答案的分布情况（因此您不必关心人际间的变异性），或者查看同一项目上不同人的答案的分布情况（因此，在以下情况中就不会存在以下情况：项可变性），则分布将为泊松二项式，即非iid Bernoulli试验之和的分布。分布可以用二项式或泊松近似，仅此而已。否则，您将进行iid假设。$n$

即使在关于猜测的“空”假设下，也假设没有猜测模式，因此人们的猜测方式不会有所不同，项目的猜测方式也不会有所不同-因此猜测纯粹是随机的。

该问题的答案取决于问题的框架和获取信息的时间。总的来说，我倾向于同意教授的观点，但认为他/她的回答解释不佳，教授的问题应该包括更多的信息。

如果您考虑了无限数量的潜在考试问题，并且对问题1随机抽取了一个，对问题2随机抽取了一个，依此类推。然后进入考试：

1. 每个问题都有两个结果（对还是错）
2. 有固定数量的试验（问题）
3. 每个试验都可以被认为是独立的（进入第二个问题，您做的概率与进入一个问题的概率相同）$p$

在此框架下，满足二项式实验的假设。

，错误提出的统计问题在实践中非常普遍，而不仅仅是考试。我会毫不犹豫地向您的教授辩护。

如果存在n个问题，并且我可以以概率p正确回答任何一个问题，并且有足够的时间尝试回答所有问题，并且我进行了100项测试，那么我的分数将为np的正态分布。

但这不是我重复测试100次，而是100个不同的候选人进行一项测试，每个候选人都有自己的概率p。这些p的分布将是最主要的因素。您可能进行了一项测试，如果您对本学科学习得很好，则p = 0.9，否则，则p = 0.1，只有极少数人介于0.1和0.9之间。点的分布将在0.1n和0.9n处具有非常强的最大值，并且远不接近正态分布。

另一方面，在一些测试中，每个人都可以回答任何问题，但是花费的时间不同，因此有些答案会回答所有n个问题，而另一些答案会更少，因为它们用完了时间。如果我们可以假设候选者的速度是正态分布的，那么这些点将接近于正态分布。

但是许多测试都会有意地包含一些非常困难和非常简单的问题，以便我们可以区分最佳候选人（谁将回答所有问题到某种程度的难度）和最差候选人（他们只能回答非常困难）。简单的问题）。这将极大地改变点的分布。

$n$ $n$

$n$

• $1$$2$
• 是独立的。许多考试会根据先前问题的答案提出问题。谁能肯定地说这个问题不会在考试中发生？还有其他因素可以使考试题的答案彼此之间不独立，但是我认为这是最直观的答案。

我在统计课程中看到过一些将考试问题建模为二项式的问题，但它们的框架大致如下：

什么样的概率分布可以模拟在多项选择题考试中正确回答的问题数量，其中每个问题都有四个选择，参加考试的学生会随机猜测每个答案？

当然，在这种情况下，它将表示为的二项式分布$p= \frac{1}{4}$