对数随机数生成

我需要从具有密度的对数柯西分布中提取随机数： 谁能帮助我或将我指向一本可以告诉我如何的书/纸？

$$f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{x\pi\sigma\left[1+\left(\frac{ln(x)-\mu}{\sigma}\right)^2\right]}.$$

如果log （X ）具有柯西分布，则变量具有对数柯西分布。因此，我们只需要生成柯西随机变量并对它们进行幂运算就可以得到对数柯西分布的东西。$X$$\log(X)$

我们可以使用逆变换采样从柯西分布中生成数据，该变换表示，如果将随机制服插入分布的逆CDF中，则得出的结果将具有该分布。位置为且尺度为σ的柯西分布具有CDF：$\mu$$\sigma$

$$F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{1}{2}$$

可以很容易地将这个函数求反

$$F^{-1}(y) =\mu + \sigma\,\tan\left[\pi\left(y-\tfrac{1}{2}\right)\right]$$

因此，如果然后Ŷ = μ + $U \sim {\rm Uniform}(0,1)$的柯西分布具有位置μ和标度σ，而exp（Y）具有对数柯西分布。从此发行版中生成一些代码（不使用:)）$Y = \mu + \sigma\,\tan\left[\pi\left(U-\tfrac{1}{2}\right)\right]$$\mu$$\sigma$$\exp(Y)$Rrcauchy

rlogcauchy <- function(n, mu, sigma)
{
    u = runif(n)
    x = mu + sigma*tan(pi*(u-.5))
    return( exp(x) ) 
}

注意：由于柯西分布的尾部很长，因此当您在计算机上对它们进行幂运算时，您可能会获得数值上“无穷大”的值。我不确定对此有什么可做的。

还要注意，如果直接使用对数柯西分位数功能进行逆变换采样，则会遇到相同的问题，因为在执行计算后，实际上实际上是做同样的事情$\exp \left( \mu + \sigma\,\tan\left[\pi\left(U-\tfrac{1}{2}\right)\right] \right)$