计算正态分布的百分位数

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参见此维基百科页面：

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval#Agresti-Coull_Interval

要获得Agresti-Coull间隔，需要计算正态分布的百分位数，称为 $z$ 。如何计算百分位数？Wolfram Mathematica和/或Python / NumPy / SciPy中是否有现成的函数可以执行此操作？

python normal-distribution

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不幸的是，“我完全是从Wiki获得的普通CDF”中的积分表达式偏离了

1 / \sqrt{π}

$1/\sqrt{\pi}$ 。对于使用标准函数的有限数量的项，正常cdf或其逆数没有已知的精确公式（

\exp, \log, \sin \cos

$\exp, \log, \sin \cos$ 等），但对正常cdf及其反函数都进行了很多研究，并且将两者的近似公式编程到许多计算器，电子表格中，更不用说统计软件包了。我不熟悉R，但是如果R还没有您想要的内置功能，我会感到惊讶。

— Dilip Sarwate'2

@DilipSarwate，它是固定的！我正在使用逆变换来执行此操作，也“不允许”使用过多的内置函数。这是为了学习，我想是这样。

— user1061210 2012年

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@Dilip：不仅是有没有已知的精确公式，更好的是，它是已知的，没有这样的公式可以存在！

— 主教

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Box-Muller方法从独立的标准正态随机变量的联合分布中生成样本。因此，生成的值的直方图将类似于标准正态分布。但是Box-Muller方法不是一种用于计算值的方法

Φ (x)

$\Phi(x)$ 除了“我生成的

10^{4}

$10^4$ 其中的标准普通样品

8401

$8401$ 有价值

1

$1$ 或更少，等等

Φ (1) \approx 0.8401

$\Phi(1) \approx 0.8401$ 和

Φ^{- 1} (0.8401) \approx 1

$\Phi^{-1}(0.8401) \approx 1$ 。

— Dilip Sarwate 2012年

1

我只是选择了

8401

$8401$ 作为您可能期望的数字种类的示例。

Φ (1) = 0.8413 \dots

$\Phi(1) = 0.8413\ldots$ 所以如果你产生

10^{4}

$10^4$ 标准正态分布的样本，你应该会接近到

8413

$8413$ 的

10000

$10000$ 样品有价值

\leq 1

$\leq 1$ 。你是正确地实现箱穆勒方法，但不理解的结果你得到，而不是将它们与民防部队等

— 迪利普Sarwate

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对于Mathematica， $VersionNumber > 5您可以使用

Quantile[NormalDistribution[μ, σ], 100 q]

对于q个百分点。

否则，您必须首先加载适当的统计信息包。

— JM不是统计学家
source

（我的版本是7。）加载Statistics软件包没有问题。但是那里叫什么功能？因为我得到的印象是，该Quantile行将手动执行计算，而不使用公式。

— Ram Rachum 2010年

用象征性的参数评估它（即不指定值mu，sigma和q）; 您应该得到一个涉及反误差函数的表达式。

— JM不是统计学家2010年

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John Cook的页面Scipy中的Distributions是此类内容的很好参考：

In [15]: import scipy.stats

In [16]: scipy.stats.norm.ppf(0.975)
Out[16]: 1.959963984540054

— 阿尔斯
source

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好吧，您没有询问R，但是在R中您使用？qnorm进行了询问。

（实际上是分位数，而不是百分位数，所以我相信）

> qnorm(.5)
[1] 0
> qnorm(.95)
[1] 1.644854

— 塔尔·加利利
source

1

分位数与百分位数（仅是术语问题），j.mp/dsYz9z。

— chl 2010年

1

当我们进入时，PropCIs包装中提供了R Wald调整后的CI（例如Agresti-Coull）。威尔逊的方法是in中的默认方法Hmisc::binconf（如Agresti和Coull所建议）。

— chl 2010年

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在Python中，您可以使用scipy包中的stats模块（在下面的示例中，查找）。cdf()

（似乎超越软件包还包括通常的累积分布）。

— hl
source

0

您可以使用erf逆函数，例如在MatLab和Mathematica中可用。

对于普通CDF，从

y = Φ (x) = \frac{1}{2} [1 + erf (\frac{x}{\sqrt{2}})]

$y=\Phi\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$

我们得到

x = \sqrt{2} {erf}^{- 1} (2 y - 1)

$x=\sqrt{2}\ \text{erf}^{-1}\left(2y-1\right)$

对于对数正态CDF，从

y = F_{x} (x; μ, σ) = \frac{1}{2} erfc (\frac{- \log x - μ}{σ \sqrt{2}})

$y=F_{x}(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{-\log x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)$

我们得到

- \log (x) = μ + σ \sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 y)

$-\log \left(x\right)=\mu+\sigma\sqrt{2}\ \text{erfc}^{-1}\left(2y\right)$

— 让·维克多·科特
source

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这不只是评论而不是答案吗？

— 2012年

我的想法是，如果您有erf和erfc函数的逆函数，那么问题就可以解决。例如，MatLab具有这样的预编程功能。

— Jean-VictorCôté2012年

@Jean-VictorCôté请在回复中提出您的想法。否则，它看起来就像是上面建议的注释。

— chl 2012年

对数正态计算看起来不正确。毕竟，它的逆CDF应该与法线的逆CDF 相同，才能使用

\log (x)

$\log(x)$ 代替

x

$x$ 。

— ub