在函数转换下是否保留了概率？

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我认为这有点基本，但是说我有一个随机变量，则对于任何实值连续函数，概率与？ $X$ $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— 连结L
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1

另外：通常是。

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— 亚历克西斯

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仅在单调增加时成立。如果单调递减，则。例如，如果，并且X是正常模头辊，则但。如果在增加和减少之间切换，那么它会更加复杂。 $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ $P(X \leq 5) = \frac56$ $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

注意，还有一个琐碎的情况，，如果，则等于1，否则 0。 $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— 积累
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2

+1我应该在正确的情况下添加内射性格。

— 斯特凡·洛朗

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否。在上取均匀，。然后。另一方面。 $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— 斯特凡·洛朗（StéphaneLaurent）
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2

这与询问：

是为每个？ $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

当有很多方法可以违反。但是，在所有情况下，都要求是非单调函数。 $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— 天性
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