可以将Mantel检验扩展到非对称矩阵吗？

的Mantel检验通常适用于对称距离/差矩阵。据我了解，该测试的一个假设是，用于定义差异的度量必须至少是一个半度量（满足度量的标准要求，但不能满足三角不等式）。

对称性的假设可以放宽（给定度量）吗？在这种情况下，是否可以使用完整矩阵应用置换测试？

它不需要扩展。 如Mantel 1967年论文所述，原始的Mantel测试允许不对称矩阵。回想一下，该试验比较两个距离矩阵和。$n\times n$$X$$Y$

在这一点上，我们可能期望对我们的统计信息进行修改，这将简化下面将要开发的统计程序。修改是删除限制，并仅用限制代替它。当且，修改的效果只是将求和值精确翻倍。但是，即使距离关系不是对称的，也就是当和可能出现时，随后开发的过程仍然适用。然后涉及的特定情况是 ...$i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

（在第4节中；添加了重点）。

在许多软件（例如的软件包）中，对称似乎是人为的条件，该ade4软件包R使用“ dist”类的对象来存储和处理距离矩阵。操纵函数假定距离是对称的。因此，您不能将其mantel.rtest过程应用于非对称矩阵-但这纯粹是软件限制，而不是测试本身的属性。

测试本身似乎不需要矩阵的任何属性。显然（由于在上一段末尾对反对称引用的明确引用），它甚至不需要或中的条目为正。它只是一个排列检验，它使用两个矩阵（被视为具有元素的向量）的相关性的某种度量作为检验统计量。$X$$Y$$n^2$

原则上我们可以列出可能的数据排列，为每个排列计算 [测试统计量]，并获得的零分布，以此可以判断的观察值。$n!$$Z$$Z$$Z$

[ 同上。]

实际上，Mantel明确指出矩阵不必是距离矩阵，他强调了这种可能性的重要性：

一般情况下的公式也适用于和不遵循聚类问题的算术和几何规律的情况。例如，。通用过程对任意和的适用性为其扩展到更广泛的问题奠定了基础...$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

（该示例说明了三角形不等式。）

例如，他提供了“人际关系研究”，其中“我们有个体和2种不同的度量，对称的或不对称的，将每个个体与其余 ”（强调）。$n$$n-1$

在附录中，Mantel得出了“置换方差” ，并没有比矩阵的对角元素是常数（可能非零）更强的假设。$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

总而言之，从一开始就明确考虑了每一项度量公理，并拒绝了它们对于测试是非必要的：

1. “距离”可能是负面的。

2. 对象与其自身之间的“距离”可能不为零。

3. 三角不等式不必成立。

4. “距离”不必是对称的。

最后，我将说明曼特尔提出的统计量对于非对称距离可能效果不佳。面临的挑战是找到一种有效区分两个这样的矩阵的检验统计量：在置换检验中使用它而不是乘积之和。$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

这是中的测试示例R。给定两个距离矩阵x和y，它返回置换分布的样本（作为检验统计值的向量）。它完全不需要x或y没有任何特定的属性。它们只需要是相同大小的方阵。

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}