多项式分布的正态近似是多少？

如果有多种可能的近似值，我正在寻找最基本的近似值。

您可以使用多元正态分布对其进行近似，就像通过二元正态分布近似二项分布一样。检查分布理论和多项式分布的元素，第15-16-17页。

设是你的概率的向量。然后多元正态分布的均值向量是Ñ p = （Ñ p 1，Ñ p 2，。。。，Ñ p ķ）。协方差矩阵是k × k对称矩阵。对角元素实际上是X i的方差；即ñ p $P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$，我= 1 ，2 ... ，ķ。第i行第j列的对角线元素为 Cov （X i，X j）= - n p i p j，其中 i不等于 j。$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$$\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

此答案中给出的密度是退化的，因此我使用以下公式来计算由正态近似得出的密度：

有写着给定一个随机变量定理$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$，对于$m$维矢量$p$与$\sum_i p_i = 1$和$\sum_i X_i = n$，那个；

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

$n$

• $u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• $Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• $Q$$u$

$m-1$$m-1$$X$$X_m$

$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

$n$

• $\hat{u}$$m-1$$u$
• $\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• $n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

该最终方程式的右侧是计算中使用的非简并密度。

不出所料，当您插入所有内容时，您将获得以下协方差矩阵：

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

$i,j = 1, \ldots, m-1$$m-1$$m-1$

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