两个rv差异的统一PDF

是否有可能使两个iid rv的差异的PDF看起来像一个矩形（而不是说，如果rv取自均匀分布，则得到的三角形）。

也就是说，对于所有-1 <x <1，jk的PDF f（对于从某个分布中提取的两个iid rv）是否有f（x）= 0.5？

除j和k的分布没有限制外，最小值为-1且最大值为1。

经过一些试验，我认为这可能是不可能的。

random-variable pdf iid

— 内森
source

两个均匀分布的差是三角形分布，所以如果您问是否有可能获得iid均匀差的均匀，那么答案就不是。

— 添

同样的问题在这里问：math.stackexchange.com/questions/2048939/… 到目前为止没有答案！

— kjetil b halvorsen

当

和

概率质量都接近这些端点时，似乎很难避免

以外的实现。

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— 克里斯多夫·汉克

这不可能。据我回忆，这已经（在形式上稍有不同）已经在现场的某个地方得到了回答。我会看看是否可以找到它

— Glen_b-恢复莫妮卡

@Glen_b您可能会想起stats.stackexchange.com/questions/125360/…。这不是很重复，但是，因为一个差 IID变量，虽然表达的总和可能涉及的变量具有不相同分布的总和。我相信对我的解决方案进行微不足道的修改将解决这种差异；Silverfish的解决方案看起来无需更改就可以直接应用，但是首先必须去除很多无关的材料才能看到这一点。

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— ub

Answers:

定理：当时，没有分布。 $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

证明：考虑两个具有共同特征函数随机变量。用表示它们的差异。差异的特征函数是： $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

（此工作的第四行基于特征函数为Hermitian的事实。）现在，采用给出一种特定形式，即： $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

后者是（未归一化的）sinc函数。因此，为了满足要求，我们需要一个具有平方范数的特征函数，其给定值是： $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

该方程式的左侧是平方范数，因此是非负的，而右侧是在各个位置为负的函数。因此，该方程式没有解，因此没有满足分布要求的特征函数。（向Fabian提出提示是在有关Mathematics.SE的一个相关问题中指出这一点。）因此，不存在符合定理要求的分布。 $\blacksquare$

— Ben-恢复莫妮卡
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这是电气工程师的工作，其观点更适合于dsp.SE而不是stats.SE，但无论如何。

假设和是具有公共pdf连续随机变量。然后，如果表示，则 Cauchy-Schwarz不等式告诉我们在处具有最大值。实际上，由于实际上是的“自相关”函数，被认为是“信号”，因此它必须在处具有唯一的最大值，因此不能按需要均匀分布。或者，如果 $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ 确实是一个均匀的密度（记住它也是一个自相关函数），则的“功率谱密度” （视为信号）将是一个Sinc函数，因此不是一个非负函数，因为所有功率谱密度必须为。因此，是均匀密度的假设导致了矛盾，因此该假设必定是错误的。

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

当和的共同分布包含原子时，的说法显然无效，因为在这种情况下的分布也将包含原子。我怀疑可以消除和具有pdf的限制，并为和不一定享受pdf（但它们之间的区别确实如此）的一般情况构造了纯粹的测量理论证明。 $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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在我看来，部分原因并不正确。所述的特征函数分布是所述功能，从而清楚地那样付里叶变换是允许的。在我看来，您的逻辑似乎导致证明太多了 -它似乎不仅证明不能统一，而且根本不存在统一分布。我误会了吗？

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

— 本-恢复莫妮卡

的特征函数是否存在不是问题。它确实存在。的pdf 是自相关函数。那么，功率谱密度的任何自相关函数必须是一个非负作用。因此，假设该导致的功率谱密度是sinc函数（即发生在正的和负的值）。由于这不是有效的功率谱密度（请记住，也是自相关函数），因此的假设必须为假。

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

— Dilip Sarwate