两个变量之和的方差公式的直觉

我从以前的研究中知道

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

但是，我不明白为什么。我可以看到，当A和B高度变化时，其效果将是“推高”方差。这是有道理的，当您从两个高度相关的变量创建一个合成时，您倾向于将A的高观测值与B的高观测值相加，A的低观测值与B的低观测值相加。在复合变量中创建极高和极低的值，从而增加复合变量的方差。

但为什么它的工作原理通过乘以协方差恰好 2？

简单答案：

方差包括一个平方：

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

因此，您的问题归结为平方恒等式中的因子2：

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

这可以在视觉上被理解为侧的正方形的面积的分解为边的较小的正方形的区域和中，除了2个边的矩形和：a b a $(a+b)$$a$$b$$a$$b$

更多参与的答案：

如果您想要一个数学上更复杂的答案，则协方差是双线性形式，这意味着它的第一个和第二个参数都是线性的，这将导致：

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

在最后一行中，我使用了协方差是对称的事实：

$$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

总结一下：

这是两个，因为您必须同时考虑和。c o v （B ，A $cov(A,B)$$cov(B,A)$

随机变量集是一个向量空间，欧几里得空间的许多性质可以与它们类似。标准偏差的作用类似于长度，而方差的作用类似于长度的平方。独立对应于正交，而完美相关对应于标量乘法。因此，自变量的方差遵循勾股定理：。
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

如果它们完全相关，则
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

请注意，这等效于
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

如果它们不是独立的，则它们遵循类似于余弦定律的定律：
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

注意，一般情况是完全独立和完全相关之间的一种。如果和是独立的，则为零。因此，一般情况是始终具有项和项，然后对项有一些变化; 变量之间的相关性越强，则第三项越大。而这也恰恰是是：这是倍的的和。乙Ç ø v （甲，乙）v 一个[R （甲，乙）v 一个[R （甲）v 一个[R （乙）2 $A$$B$$cov(A,B)$$var(A,B)$$var(A)$$var(B)$ 2ÇÔv（甲，乙）2$2\sqrt{var(A)var(B)}$$2cov(A,B)$ - [R2甲$2\sqrt{var(A)var(B)}$$r^2$$A$$B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

其中和 P ë ř ˚F Ê Ç 吨Ç ø - [R [R é 升一吨我ö Ñ Ť Ë ř 米= 2 $MeasureOfCorrelation = r^2$$PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

换句话说，如果，则$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

因此，类似于定律中的。$r^2$$cos$

我想补充一点，你所引用的是不清晰的，而是一个后果的定义的和。因此，为什么方程式成立的答案是byouness进行的计算。您的问题可能确实是为什么这样有意义；非正式地：$Var(A+B)$$Var$$Cov$

将“变化” 多少取决于四个因素：$A+B$

1. 多少会自行变化。$A$
2. 多少会自行变化。$B$
3. 随着移动（或变化），会变化多少。$A$$B$
4. 随着移动，将变化多少。$B$$A$

这使我们 因为是对称算符。

$$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ $Cov$