为什么基于稀疏数据的协方差矩阵的本征和SVD分解会产生不同的结果？

我正在尝试基于稀疏/不连续的数据集分解协方差矩阵。我注意到，svd随着越来越差的数据，λ的总和（解释方差）用来计算。没有差距，svd并eigen获得相同的结果。

eigen分解似乎不会发生这种情况。我一直倾向于使用，svd因为lambda值始终为正，但是这种趋势令人担忧。是否需要某种校正，或者应该svd完全避免此类问题。

###Make complete and gappy data set
set.seed(1)
x <- 1:100
y <- 1:100
grd <- expand.grid(x=x, y=y)

#complete data
z <- matrix(runif(dim(grd)[1]), length(x), length(y))
image(x,y,z, col=rainbow(100))

#gappy data
zg <- replace(z, sample(seq(z), length(z)*0.5), NaN)
image(x,y,zg, col=rainbow(100))


###Covariance matrix decomposition
#complete data
C <- cov(z, use="pair")
E <- eigen(C)
S <- svd(C)

sum(E$values)
sum(S$d)
sum(diag(C))


#gappy data (50%)
Cg <- cov(zg, use="pair")
Eg <- eigen(Cg)
Sg <- svd(Cg)

sum(Eg$values)
sum(Sg$d)
sum(diag(Cg))



###Illustration of amplification of Lambda
set.seed(1)
frac <- seq(0,0.5,0.1)
E.lambda <- list()
S.lambda <- list()
for(i in seq(frac)){
    zi <- z
    NA.pos <- sample(seq(z), length(z)*frac[i])
    if(length(NA.pos) > 0){
        zi <- replace(z, NA.pos, NaN)
    }
    Ci <- cov(zi, use="pair")
    E.lambda[[i]] <- eigen(Ci)$values
	S.lambda[[i]] <- svd(Ci)$d
}


x11(width=10, height=5)
par(mfcol=c(1,2))
YLIM <- range(c(sapply(E.lambda, range), sapply(S.lambda, range)))

#eigen
for(i in seq(E.lambda)){
    if(i == 1) plot(E.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Eigen Decomposition")
    lines(E.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

    #svd
for(i in seq(S.lambda)){
    if(i == 1) plot(S.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Singular Value Decomposition")
    lines(S.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

您需要对特征值的绝对值进行求和，即sum（abs（Eg $ values））并将其与奇异值之和进行比较。他们将是平等的。

原因是，如果将与负特征值对应的行或列乘以，则新矩阵的特征值将变为正，并且特征向量的正交性不会受到干扰。$-1$

这个美丽定理相反的证明出现在《旋转双曲面的代数》，Javier F. Cabrera，《线性代数及其应用》，普林斯顿大学（现为罗格斯大学）中。

另一种原因是，sqrt（eigen（t（Cg）％*％Cg））等于Cg的奇异值。但是，当特征值是负值时，必须以厄米形式表示数据，同时要考虑到复杂的平面，这是原始公式所忽略的，即由具有负特征值的矩阵对称平方根形成的数据值将具有复杂的条目。