寻找的边际密度

如标题所示，我正在寻找的边际密度

到目前为止，我发现为。我通过将转换为极坐标并在积分来弄清楚，这就是为什么我被困在边际密度部分上的原因。我知道，但是我不确定如何在没有大的混乱积分的情况下解决这个问题，我知道答案是“应该是一个很大的混乱积分。是否有可能找到，然后采用来找到$c$$\frac{3}{2 \pi}$$f(x,y)$$drd\theta$$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$$F(x,y)$$\frac{dF}{dx}$$f_x(x)$？这似乎是一种直观的方法，但我似乎无法在教科书中找到说明这些关系的任何内容，因此我不想做出错误的假设。

几何在这里有帮助。图$f$是单位半径的球形圆顶。（随之而来的是其体积是单位球体的一半，$(4 \pi /3)/2$，从何而来 $c=3/(2 \pi)$。）边际密度由穿过该球体的垂直横截面的面积给出。显然，每个横截面都是一个半圆：要获取边际密度，求出其半径作为剩余变量的函数，并使用公式计算圆的面积。将所得的单变量函数标准化为具有单位面积，可以将其转换为密度。