为什么要分解贝叶斯定理中的分母？

（我是统计工作的新手。我是数学家和程序员，我正在尝试构建类似朴素的贝叶斯垃圾邮件过滤器的工具。）

我注意到许多地方人们倾向于分解贝叶斯定理方程中的分母。所以代替这个：

$\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$

我们看到了这个：

$\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A|B)\cdot P(B)+P(A|\neg B)\cdot P(\neg B)}$

您可以看到此约定在本Wikipedia文章和Tim Peters的这篇有深刻见解的帖子中使用。

我对此感到困惑。为什么分母会这样分解？这对一切有什么帮助？计算有何复杂之处？对于垃圾邮件过滤器而言，这将是什么？$P(A)$The probability that the word "cheese" appears in an email, regardless of whether it's spam or not

对您的问题的简短回答是：“大多数情况下，我们不知道P（奶酪）是什么，而且通常（相对）难以计算。”

为什么贝叶斯法则/定理通常以您写的方式来表达，这是一个较长的答案，这是因为在贝叶斯问题中-我们坐在膝盖上-先验分布（上述P（B））和似然性（P（A | B），上面的P（A | notB）和计算后验（P（B | A））是一个相对简单的乘法问题。麻烦以摘要形式重新表达P（A）是一项可以在其他地方花费的工作。

在电子邮件的上下文中，它似乎并不那么复杂，因为正如您正确指出的那样，它只是P（奶酪），对吗？问题在于，在战场上存在更多的贝叶斯问题时，分母是一个难看的整数，可能有也可能没有闭式解。实际上，有时我们需要复杂的蒙特卡洛方法，只是为了近似积分，搅动数字可能会给后面带来很大的麻烦。

但更重要的是，我们通常甚至不在乎P（cheese）是什么。请记住，我们正在努力磨练我们对电子邮件是否为垃圾邮件的信念，并且不要在意数据的边际分布（上面的P（A））。无论如何，它只是一个规范化常数，与参数无关。求和操作会洗净关于参数的任何信息。该常数很容易计算，并且最终与我们对电子邮件是否为垃圾邮件的置信度为零时无关。有时我们不得不计算它，在这种情况下，最快的方法是使用我们已经拥有的信息：先验和可能性。

使用总概率规则的原因之一是，我们经常处理该表达式中的组件概率，并且只需插入值即可直接找到边际概率。有关此示例的说明，请参见Wikipedia上的以下示例：

• 贝叶斯定理>示例1：药物测试

另一个原因是通过操纵该表达式来识别贝叶斯规则的等效形式。例如：

$P(B|A) = \frac{P(A|B) P(B)}{P(A|B)P(B) + P(A|\lnot B)P(\lnot B)}$

用分子除以RHS：

$P(B|A) = \frac{1} {1 + \frac{P(A|\lnot B)}{P(A|B)} \frac{P(\lnot B)}{P(B)}}$

这是贝叶斯定律的一个很好的等效形式，通过从原始表达式中减去它来获得以下代码，它甚至变得更方便：

$\frac{P(\lnot B|A)}{P(B|A)} = \frac{P(A|\lnot B)} {P(A|B)} \frac {P(\lnot B)} {P(B)}$

这是用赔率表示的贝叶斯规则，即，对B的后验几率=对B的贝叶斯因数乘以对B的先验比数。（或者您可以将其求反以得到对B的比数的表达式。）贝叶斯因数是模型的似然比。鉴于我们不确定底层数据生成机制，因此我们观察数据并更新我们的信念。

我不确定您是否觉得这有用，但希望它不会令人困惑；您显然应该使用最适合您的方案的表达式。也许其他人可以以更好的理由进行讨论。

先前的答复已经足够详细，但是直观地了解了为什么（即贝叶斯定理中的分母）分为两种情况。$P (A)$

在不知道电子邮件是ham还是spam的情况下，很难评论是什么。您是正确的，“ cheese”出现在垃圾邮件中还是出现在垃圾邮件中，但是如果您查看“ cheese”出现的可能性，因为该电子邮件是ham（，代表ham），你绝对可以说很多。至少就我而言，我没有收到很多包含奶酪的垃圾邮件，因此就我而言，很高（例如90％）。同样，在我的情况下，会很低，因为不是很多垃圾邮件都包含“奶酪”一词。基本上，我们尝试查看感兴趣事件的发生（此处$P(A)$$P(A | B)$$B$$P(A | B)$$P(A | \neg B)$一）划分为两个不相交的事件，和。如果将A划分为两个独立的事件，则可以更好地说明条件概率和。为了获得总概率，我们还需要权衡我们以其为条件的事件的发生的条件概率，即和。因此，最终表达式 $B$$\neg B$$P(A | B)$$P(A | \neg B)$$P(B)$$P(\neg B)$