指数对数回归系数与比值比不同

据我了解，对数回归的指数贝塔值是该变量与相关因变量的比值比。但是，该值与手动计算的优势比不匹配。我的模型使用保险等其他指标预测发育迟缓（营养不良的一种衡量标准）。

// Odds ratio from LR, being done in stata
logit stunting insurance age ... etc. 
or_insurance = exp(beta_value_insurance)

// Odds ratio, manually calculated
odds_stunted_insured = num_stunted_ins/num_not_stunted_ins
odds_stunted_unins = num_stunted_unins/num_not_stunted_unins
odds_ratio = odds_stunted_ins/odds_stunted_unins

这些值不同的概念原因是什么？控制回归中的其他因素？只是想能够解释差异。

— 麦克风
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您是否要在逻辑回归模型中添加其他预测变量？如果不包括其他预测变量，则手动计算的优势比将仅与您从逻辑回归中获得的优势比匹配。

— 2012年

我就是这么想的，但是想要确认。那是因为回归的结果正在考虑其他预测变量的变化？

— mike 2012年

是的，@ mike。假设正确指定了模型，则当其他预测变量都固定时，可以将其解释为优势比。

— 2012年

@Macro：您介意重申您的评论作为答案吗？

— jrennie 2012年

Answers:

如果仅将那个单独的预测变量放到模型中，那么预测变量和响应之间的优势比将完全等于指数回归系数。我认为此结果不会出现在网站上，因此我将借此机会提供它。

$Y$ $X$

\begin{array}{ccc} ÿ = 1个 & ÿ = 0 \\ X = 1个 & p_{11} & p_{10} \\ X = 0 & p_{01} & p_{00} \end{array}

$\begin{array}{c|cc} \phantom{} & Y = 1 & Y = 0 \\ \hline X=1 & p_{11} & p_{10} \\ X=0 & p_{01} & p_{00} \\ \end{array}$

$X_i$ $Y_i$

Ø [R = \frac{p_{11} p_{00}}{p_{01} p_{10}}

${\rm OR} = \frac{ p_{11} p_{00} }{p_{01} p_{10}}$

$p_{ij} = P(Y = i | X = j) \cdot P(X = j)$ $X$ $Y|X$

Ø [R = \frac{P （ ÿ = 1个 | X = 1个 ）}{P （ ÿ = 0 | X = 1个 ）} \cdot \frac{P （ ÿ = 0 | X = 0 ）}{P （ ÿ = 1个 | X = 0 ）}

${\rm OR} = \frac{ P(Y = 1| X = 1) }{P(Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0) }{ P(Y = 1 | X = 0)}$

在逻辑回归中，您可以直接对以下概率建模：

日志 （ \frac{P （ ÿ_{一世} = 1个 | X_{一世} ）}{P （ ÿ_{一世} = 0 | X_{一世} ）} ） = β_{0} + β_{1个} X_{一世}

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1|X_i) }{ P(Y_i = 0|X_i) } \right) = \beta_0 + \beta_1 X_i$

${\rm OR}$

\frac{P （ ÿ_{一世} = 1个 | X_{一世} = 1个 ）}{P （ ÿ_{一世} = 0 | X_{一世} = 1个 ）} = \frac{（ \frac{1个}{1个 + Ë^{- （ β_{0} + β_{1个} ）}} ）}{（ \frac{Ë^{- （ β_{0} + β_{1个} ）}}{1个 + Ë^{- （ β_{0} + β_{1个} ）}} ）} = \frac{1个}{Ë^{- （ β_{0} + β_{1个} ）}} = Ë^{（ β_{0} + β_{1个} ）}

$\frac{ P(Y_i = 1| X_i = 1) }{P(Y_i = 0 | X_i = 1)} = \frac{ \left( \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0+\beta_1)}} \right) } {\left( \frac{e^{-(\beta_0+\beta_1)}}{1 + e^{-(\beta_0+\beta_1)}}\right)} = \frac{1}{e^{-(\beta_0+\beta_1)}} = e^{(\beta_0+\beta_1)}$

第二个是：

\frac{P （ ÿ_{一世} = 0 | X_{一世} = 0 ）}{P （ ÿ_{一世} = 1个 | X_{一世} = 0 ）} = \frac{（ \frac{Ë^{- β_{0}}}{1个 + Ë^{- β_{0}}} ）}{（ \frac{1个}{1个 + Ë^{- β_{0}}} ）} = Ë^{- β_{0}}

$\frac{ P(Y_i = 0| X_i = 0) }{P(Y_i = 1 | X_i = 0)} = \frac{ \left( \frac{e^{-\beta_0}}{1 + e^{-\beta_0}} \right) } { \left( \frac{1}{1 + e^{-\beta_0}} \right) } = e^{-\beta_0}$

${\rm OR} = e^{(\beta_0+\beta_1)} \cdot e^{-\beta_0} = e^{\beta_1}$

$Z_1, ..., Z_p$

\frac{P （ ÿ = 1个 | X = 1个 ， ž_{1个} ， 。 。 。 ， ž_{p} ）}{P （ ÿ = 0 | X = 1个 ， ž_{1个} ， 。 。 。 ， ž_{p} ）} \cdot \frac{P （ ÿ = 0 | X = 0 ， ž_{1个} ， 。 。 。 ， ž_{p} ）}{P （ ÿ = 1个 | X = 0 ， ž_{1个} ， 。 。 。 ， ž_{p} ）}

$\frac{ P(Y = 1| X = 1, Z_1, ..., Z_p) }{P(Y = 0 | X = 1, Z_1, ..., Z_p)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0, Z_1, ..., Z_p) }{ P(Y = 1 | X = 0, Z_1, ..., Z_p)}$

因此，它的优势比取决于模型中其他预测变量的值，并且通常不等于

\frac{P （ ÿ = 1个 | X = 1个 ）}{P （ ÿ = 0 | X = 1个 ）} \cdot \frac{P （ ÿ = 0 | X = 0 ）}{P （ ÿ = 1个 | X = 0 ）}

$\frac{ P(Y = 1| X = 1) }{P(Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0) }{ P(Y = 1 | X = 0)}$

因此，您发现指数系数与观察到的优势比之间存在差异就不足为奇了。

$\beta$

— 巨集
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哇，谢谢您抽出宝贵的时间写出如此完整的说明。

— Mike

@Macro我发现“ p值小于0.05”和“ 95％CI不包括1”在逻辑回归中不一致（我使用SAS）。这种现象与您的解释有关吗？

— user67275

$\exp(\beta)$

$\mu$ 在您的模型中，但是如果真实关系在另一个协变量的水平上有所不同，但是例如不包括交互项，也会出现问题。逻辑回归模型，我们可以提出以下问题：基于模型的边际优势率和基于边际的优势率何时会有所不同？在这种情况下，您应该选择哪个？

$0/1$ $r\ne0$ $\exp(\beta)$

如果边际OR和基于模型的OR不同，则应使用/解释基于模型的版本。原因是，边际OR并未说明协变量之间的混淆，而模型却说明了。这种现象与Simpson's Paradox有关，您可能想阅读（SEP也有很好的入门，这里有关于CV的讨论：Basic-simpson's-paradox，您可以搜索CV的simpsons-paradox标签）。为了简单和实用，您可能只想使用基于模型的OR，因为它显然是可取的或相同的。

— gung-恢复莫妮卡
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