泊松随机变量的四舍五入平均值的分布是什么？

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如果我具有泊松分布的随机变量，参数为，则（即平均值的整数下限）？ $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$ $Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$

泊松的总和也就是泊松，但我对统计数据没有足够的信心来确定上述情况是否相同。

poisson-distribution average

— 卢博·安东诺夫（Lubo Antonov）
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@amoeba我回滚了您对标题的编辑，因为这实际上不是“四舍五入”。Cardinal的先前编辑虽然不够精确，但似乎更可取，因为它是准确的。

— ub

@whuber好的。进行此编辑时，我有些犹豫，但决定添加“四舍五入”一词，因为当前标题并未暗示此处的主要困难（因此在某种程度上具有误导性）。正确的术语应该是“四舍五入”，所以也许“什么是平均泊松随机变量的分布舍去？” -尽管我承认这听起来有点麻烦。

— 变形虫说莫妮卡（Reonica Monica）

@amoeba当然欢迎进一步编辑！

— 豪伯

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当的分布已知并在自然数上得到支持时，该问题的一般性要求的分布。（在问题中，的泊松分布为参数和。） $Y = \lfloor X/m \rfloor$ $X$ $X$ $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ $m=n$

的分布很容易通过的分布确定，其概率生成函数（pgf）可以根据的pgf确定。这是推导的概述。 $Y$ $mY$ $X$

为的pgf 写，其中（根据定义）。由构造，使得它的pgf为 $p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$ $X$ $p_n = \Pr(X=n)$ $mY$ $X$ $q$

\begin{aligned} q (x) & = & (p_{0} + p_{1} + \dots + p_{m - 1}) + (p_{m} + p_{m + 1} + \dots + p_{2 m - 1}) x^{m} + \dots + \\ (p_{n m} + p_{n m + 1} + \dots + p_{(n + 1) m - 1}) x^{n m} + \dots . \end{aligned}

$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$

因为这对于绝对收敛，我们可以将术语重新排列为以下形式的总和： $|x| \le 1$

D_{m, t} p (x) = p_{t} + p_{t + m} x^{m} + \dots + p_{t + n m} x^{n m} + \dots

$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$

对于。幂级数的功能的由每的系列的术语开始与：这有时被称为抽取的。Google搜索目前并未提供关于抽取的大量有用信息，因此为了完整起见，这里是公式的推导。 $t=0, 1, \ldots, m-1$ $x^t D_{m,t}p$ $m^\text{th}$ $p$ $t^\text{th}$ $p$

令为任何原始的统一根；例如，取。然后从和得出 $\omega$ $m^\text{th}$ $\omega = \exp(2 i \pi / m)$ $\omega^m=1$ $\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

x^{t} D_{m, t} p (x) = \frac{1}{m} \sum_{j = 0}^{m - 1} ω^{t j} p (x / ω^{j}) .

$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$

要看到这一点，请注意，运算符是线性的，因此只要根据。将右手边应用于给出 $x^t D_{m,t}$ $\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$ $x^n$

x^{t} D_{m, t} [x^{n}] = \frac{1}{m} \sum_{j = 0}^{m - 1} ω^{t j} x^{n} ω^{- n j} = \frac{x^{n}}{m} \sum_{j = 0}^{m - 1} ω^{(t - n) j .}

$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$

当和相差的倍数时，总和中的每一项等于，我们得到。否则，这些项将循环通过幂，并且这些总和为零。因此，该运算符将所有幂保留为模而杀死所有其他幂：这正是所需的投影。 $t$ $n$ $m$ $1$ $x^n$ $\omega^{t-n}$ $x$ $t$ $m$

的公式很容易通过更改求和的顺序并将其中一个和识别为几何，从而以封闭形式编写： $q$

\begin{aligned} q (x) & = \sum_{t = 0}^{m - 1} (D_{m, t} [p]) (x) \\ = \sum_{t = 0}^{m - 1} x^{- t} \frac{1}{m} \sum_{j = 0}^{m - 1} ω^{t j} p (ω^{- j} x) \\ = \frac{1}{m} \sum_{j = 0}^{m - 1} p (ω^{- j} x) \sum_{t = 0}^{m - 1} {(ω^{j} / x)}^{t} \\ = \frac{x (1 - x^{- m})}{m} \sum_{j = 0}^{m - 1} \frac{p (ω^{- j} x)}{x - ω^{j}} . \end{aligned}

$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$

例如，参数的Poisson分布的pgf 为。如果，并且的pgf 将是 $\lambda$ $p(x) = \exp(\lambda(x-1))$ $m=2$ $\omega=-1$ $2Y$

\begin{aligned} q (x) & = \frac{x (1 - x^{- 2})}{2} \sum_{j = 0}^{2 - 1} \frac{p ((- 1)^{- j} x)}{x - (- 1)^{j}} \\ = \frac{x - 1 / x}{2} (\frac{\exp (λ (x - 1))}{x - 1} + \frac{\exp (λ (- x - 1))}{x + 1}) \\ = \exp (- λ) (\frac{\sinh (λ x)}{x} + \cosh (λ x)) . \end{aligned}

$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$

这种方法的一种用途是计算和矩。在处评估的pgf 的导数的值是阶乘矩。的时刻是第一的线性组合阶乘矩。使用这些观察结果，我们发现，例如，对于泊松分布，其均值（这是第一个阶乘矩）等于，的均值等于，并且的平均值等于 $X$ $mY$ $k^\text{th}$ $x=1$ $k^\text{th}$ $k^\text{th}$ $k$ $X$ $\lambda$ $2\lfloor(X/2)\rfloor$ $\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$ $3\lfloor(X/3)\rfloor$ $\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$ ：

的均值分别表示为函数的蓝色，红色和黄色：渐近地，与原始Poisson均值相比，该均值下降了。 $m=1,2,3$ $\lambda$ $(m-1)/2$

可以获得类似的方差公式。（随着增加，它们变得凌乱，因此被忽略。他们明确确定的一件事是，当，倍数不为泊松：它没有均值和方差的特征相等）这是方差的图作为的函数对于： $m$ $m \gt 1$ $Y$ $\lambda$ $m=1,2,3$

有趣的是，对于更大的值，方差增加。从直觉上讲，这是由于两个相互竞争的现象引起的：底数函数实际上是对原本不同的值进行分组。这必须导致方差减小。同时，如我们所见，均值也在变化（因为每个bin均以其最小值表示）；这必须使等于等于均值差平方的项相加。随着较大的值，较大方差增加变得更大。 $\lambda$ $\lambda$ $m$

与的方差行为非常复杂。让我们以展示它可以做什么的快速仿真结束。这些图显示了的方差与Poisson分布的方差之间的差异，其中Poisson分布的各个值介于到。在所有情况下，这些图似乎都已达到右侧的渐近值。 $mY$ $m$ R $m\lfloor X/m \rfloor$ $X$ $X$ $\lambda$ $1$ $5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

— ub
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1

这是一个很好的答案！我可能需要一些时间来消化:)

— 卢博·安东诺夫

1

这就是为什么我说“使用下限功能...虽然也会以更复杂的方式稍微影响方差”。

— 亨利

1

+1感谢您的详细回答。底函数影响方差的方式肯定很复杂。

— Dilip Sarwate 2012年

1

用代码为R中的+1进行仿真---这是一个很好的sapply()用于仿真的示例。谢谢。

— 阿萨德·易卜拉欣

1

@Roberto谢谢。但是，“ ”和“ ” 之间的区别纯粹是表示法，是微不足道的，没有数学或统计意义。

x

$x$

s

$s$

— ub

12

正如迈克尔·切尔尼克（Michael Chernick）所说，如果各个随机变量是独立的，则总和就是具有参数（均值和方差），您可以将其称为。 $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$ $\lambda$

除以可将均值减少到并减少方差因此方差将小于等效的Poisson分布。正如迈克尔所说，并非所有值都是整数。 $n$ $\lambda / n$ $\lambda / n^2$

使用下限函数会稍微降低平均值，大约为，并且也会以稍微更复杂的方式稍微影响方差。尽管您具有整数值，但方差仍将大大小于平均值，因此您的分布将比Poisson窄。 $\frac12 -\frac{1}{2n}$

— 亨利
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谢谢，不是我可以使用的结果，但是至少我现在知道了:)

— Lubo Antonov

如果lambda不是全部相等，那么结果难道不应该更像是负二项式而不是泊松吗？（暂时忽略非整数部分）？我在这里想念什么？

— gung-恢复莫妮卡

2

@gung：您遗漏了一点，单个仅通过它们的总和以及有多少影响分配。不管采用什么特定值：都会得到与相同的结果。

λ_{i}

$\lambda_i$

λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 9

$\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=9$

λ_{1} = 4, λ_{2} = 4, λ_{3} = 4

$\lambda_1=4, \lambda_2=4, \lambda_3=4$

— 亨利

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独立泊松随机变量的平均值的概率质量函数可以明确地写下来，尽管答案可能对您没有太大帮助。正如迈克尔·切尔尼克（Michael Chernick）在评论中指出的那样，具有各自参数的独立泊松随机变量的和是具有参数的泊松随机变量。因此，因此，是一个随机变量，其概率为 $n$ $\sum_i X_i$ $X_i$ $\lambda_i$ $\lambda = \sum_i \lambda_i$

P {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} = k} = \exp (- λ) \frac{λ^{k}}{k!}, k = 0, 1, 2, \dots,

$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$

\hat{Y} = n^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$

k / n

$k/n$

\exp (- λ) \frac{λ^{k}}{k!}

$\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$ 。注意，是不一个整数值的随机变量（尽管它确实需要上均匀间隔的有理值）。很容易理解是一个整数值的随机变量，其值的概率为这不是

\hat{Y}

$\hat{Y}$

Y = ⌊ \hat{Y} ⌋

$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$

m

$m$

P {Y = m} = P {⌊ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} ⌋ = m} = \exp (- λ) \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{λ^{m n + i}}{(m n + i)!}, m = 0, 1, 2, \dots,

$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$ 泊松随机变量的概率质量函数。均值和方差的公式可以使用该概率质量函数写下来，但是显然不会得出和简单答案。如亨利指出的，可以获得近似值。

λ

$\lambda$

n

$n$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
source

+1有是对的时刻封闭公式，虽然。

Y

$Y$

— ub

感谢严谨的表述！您是否想破解均值和方差的公式？

— 卢博·安东诺夫

2

也许@whuber会发布一个链接（或一本书或期刊文章的引文），在该链接中可以找到当下的封闭式公式，或者写一个答案，给出公式本身，不管有没有详细的推导。

— Dilip Sarwate 2012年

@Dilip我对封闭式公式的主张并非基于已发布的任何内容，因此我发表了单独的回复，指出了我的想法以及如何将其用于理解这种情况。

— ub

3

Y将不会是泊松。请注意，泊松随机变量采用非负整数值。一旦被常数除，您将创建一个可以具有非整数值的随机变量。它仍将具有泊松的形状。只是离散概率可能出现在非整数点。

— 迈克尔·R·切尼克
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这是有道理的，但是如果实际上是离散的，例如平均值的下限怎么办？那会变成泊松吗？

Y

$Y$

— 卢博·安东诺夫

@ lucas1024我认为不是，但是我不确定。

— Michael R. Chernick

和的形状为Poisson，对吗？其均值和方差也相同。有没有像缩放的泊松这样的东西？Y为只是由缩放的泊松变量（总和）

\sum X_{i}

$\sum X_i$

n^{- 1}

$n^{-1}$

— JDav

@JDav总和为Poisson，其速率参数等于各个速率参数的总和。但是OP按1 / n缩放，然后要截断Y下方的整数。我不确切知道这会对分布产生什么影响。

— Michael R. Chernick

我先前的评论假定独立。

— Michael R. Chernick 2012年