离散随机变量的性质

我的统计课程刚刚告诉我，离散随机变量具有有限数量的选择...我还没有意识到。我会认为，就像一组整数一样，它可能是无限的。谷歌浏览并检查了几个网页，包括大学课程中的一些网页，未能明确确认这一点；但是，大多数站点确实说离散随机变量是可数的 -我想这意味着有限编号吗？

显然，即使（大多数？）经常有界，连续随机变量也是无限的。

但是，如果离散随机变量具有有限的可能性，那么整数的无限分布是什么？它既不是离散的也不是连续的？是因为变量要么是连续的（根据定义）是无限的，要么是不连续的且是有限的，所以这个问题是否有意义？

如果那是您的课程所说的，那是错误的。

尽管离散分布可能具有有限数量的可能结果，但是并不需要这样做；您可以有一个离散的分布，它具有无限数量的可能结果-元素的数量应不超过可数。

一个常见的例子是几何分布。考虑一个公平硬币的抛掷次数，直到您得到正面为止。可能需要的抛掷次数没有上限。可能需要掷1次，或者2次，3次或100次或其他任何次数。

离散分布可能为负（考虑两个这样的几何分布随机变量之间的差；它可以是任何正整数或负整数）。

但是，像我的示例一样，离散分布不必一定要覆盖整数。那只是一种普遍情况，不是必须的。

我正在写一个答案，因为我对度量理论概率只有一个非常幼稚的理解（因此，专家，请​​纠正我！）。

（实值）随机变量是函数，其中S是样本空间。$X: S \to \mathbb{R}$$S$

如果 X （S ）是 X诱导的 S的图像是可数的，则 X是离散的。如果 X具有绝对连续的CDF，则 X是连续的。（我对绝对连续函数了解不多，因此我无法在这一点上详细说明。）$X$$X(S)$$S$$X$$X$$X$

但是，并非所有随机变量都只是离散的或连续的。存在“混合”随机变量，其中具有CDF，该CDF是阶跃函数和带有指标的连续函数的总和。$X(s)$

您还可以使用既不离散也不连续的随机变量，例如Cantor distribution。

在连续百科和离散变量上引用维基百科页面：

如果[变量]可以采用两个特定的实数值，从而使其也可以采用它们之间的所有实数值（甚至是任意靠近的数值），则该变量在该间隔内是连续的

因此，离散随机变量不必具有“有限数量的选项”，但是可能值之间必须有一个非最小的间隙。整数分布就是这种情况，因为两个相邻整数之间的“距离”为1，并且不能小于此距离。因此，变量不是连续的，因为它不会在这些间隙内“连续”。

编辑：我知道可能有更好和/或更精确的答案，但这正是帮助我个人理解差异的原因。