统计量与伽玛分布的独立性

9

设是来自伽马分布的随机样本。 $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

让和是样品均值和样本方差，分别。 $\bar{X}$ $S^2$

然后证明或反驳该和是独立的。 $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

我的尝试：由于，我们需要检查的独立性和 $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ ，但我应该怎么建立它们之间的独立性？ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— 钟形
source

2

考虑总和

和比例

的向量

的联合拉普拉斯变换。这是

; 您可以证明这是

函数与

函数的乘积。

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$

W

$\mathbf{W}$

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

— 伊夫（Yves）

@Yves您可以检查下面发布的我的答案吗？

— bellcircle

4

积分有一个可爱，简单，直观直观的演示 $\alpha.$ 它仅依赖于均匀分布，Gamma分布，泊松过程和随机变量的众所周知的属性，如下所示：

每个是直到泊松过程的点出现的等待时间。 $X_i$ $\alpha$
因此，总和是该过程的点出现之前的等待时间。让我们把这些点 $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
以为条件，前点独立地均匀地分布在和之间 $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
因此，比率独立地均匀地分布之间和特别是，它们的分布不依赖于 $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
因此，任何（测量）功能是独立的 $Z_i/Y$ $Y.$
在这些功能是（其中括号表示阶统计的的）。
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

在这一点上，只需注意，可以明确地写成的（可测量）函数，因此是独立的 $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— ub
source

3

你想证明的是，平均和 rv.s 是独立的，或者等价的总和和比是独立的。我们可以通过假设证明稍微更一般的结果有可能不同的形状，但相同的比例可以被假定为 $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ 。 $\beta = 1$

考虑和的联合Laplace变换，即 $U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$ 表示为的维积分

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

其中常数是相对于

。如果通过设置

在积分符号下引入新变量

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

，我们很容易看到积分可以写成两个函数的乘积，一个取决于

，另一个取决于向量

。这证明

和

是独立的。

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

免责声明。这个问题与卢卡奇关于比例和独立性的定理有关，因此与尤金·卢卡奇（Eugene Lukacs）的文章《伽玛分布的表征》有关。我只是在这里摘录了本文的相关部分（即第324页），并对表示法进行了一些更改。我还用拉普拉斯变换代替了特征函数的使用，以避免更改涉及复数的变量。

— 伊夫
source

1

（+1）关于伽玛分布特征的论文。

— StubbornAtom

1

$U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

$U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

$\beta$ $\alpha$

— 钟形
source

α

$\alpha$