正态分布

8

不幸的是，有一个统计问题，我不知道从哪里开始（我正在独自学习，所以如果我听不懂的话，没有人可以问。

问题是

iid $X,Y$ $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— 昂
source

6

由于您正在处理IID普通数据，因此值得一看一下您的问题，并且希望。（您的问题对应于的情况。）正如其他用户所指出的那样，IID正态随机变量的平方和是缩放的非中心卡方 $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ $n=2$ 随机变量，因此可以从该分布的知识中获得感兴趣的方差。但是，也可以使用普通矩规则并结合正态分布矩的知识来获得所需方差。我将在下面分步向您展示如何执行此操作。

发现使用正态分布的时刻的方差：由于值是IID（并考虑是从该分布通用值）你有： $X_1, ..., X_n$ $X$ 在那里我们表示原始时刻，。这些原始矩可以写在中心矩方面和平均使用标准的转换公式
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ ，然后我们可以查找正态分布的中心矩并将其替换。

使用瞬间转换公式，你应该得到：
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = b^{2} + a^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 a b^{2} + a^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{2} + a^{2})^{2}] \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{4} + 2 a^{2} b^{2} + a^{4})] \\ = n [2 b^{4} + 4 a^{2} b^{2}] \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2} \sim Non-central Chi-Sq (k = n, λ = \frac{n a^{2}}{b^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = b^{4} \cdot V (\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2}) \\ = b^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 b^{4} (n + 2 \frac{n a^{2}}{b^{2}}) \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben-恢复莫妮卡
source

2

扰流器标签是不必要的并且会分散注意力。

— 亚历克西斯

3

$X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

您认为可以从那里拿走吗？

— SOULed_Outt
source

1

答案是在非中心卡方分布中。

$2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
source