在火车到达之前可以用什么分布来模拟时间？

我正在尝试对火车到达时间的一些数据进行建模。我想使用一个分布来捕获“我等待的时间越长，火车出现的可能性就越大”的分布。这样的分布看起来应该像CDF，这样P（火车出现|等待60分钟）接近1。

两个概率相乘

在t到t + d t（等待时间）之间的时间首次到达的概率等于$t$$t+dt$

• $t$和$t+dt$之间的到达概率（可能与时间t的到达率$s(t)$）$t$
• 以及在时间$t$之前没有到达的概率（否则将不是第一个）。

后一个术语与：

$$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$$

要么

$$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$$

给予：

$$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

等待时间的概率分布为：

$$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

累积分布的推导。

或者，您可以将表达式用于小于一个到达时间为t的条件的概率$t$

$$P(n<1|t) = F(n=0;t)$$

在时间$t$和$t+dt$之间到达的概率等于导数

$$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$$

例如，该方法/方法可用于推导伽马分布作为泊松过程中第n次到达的等待时间。（泊松过程的等待时间遵循伽马分布）

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两个例子

您可能将此与等待中的悖论相关（请解释等待中的悖论）。

• 指数分布：如果像泊松过程那样到达是随机的，则$s(t) = \lambda$是常数。下一次到达的概率与上一个没有到达的等待时间无关（例如，如果您多次掷骰子而不掷6个骰子，那么对于下一个掷骰，您突然不会有更高的6个概率，请看赌徒的谬误）。 。您将获得指数分布，并为等待时间的概率密度函数为：

  $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$

• 恒定分布：如果到达是以恒定速率发生的（例如火车按照固定的时间表到达），那么当一个人已经等待了一段时间时，到达的可能性就会增加。说列车应该每到$T$分钟的频率然后，后已经等待$t$分钟是$s(t) = 1/(T-t)$和等待时间将是PDF：

  $$f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$$ 有意义，因为每次在$0$到$T$之间的时间都应该具有相等的概率成为第一个到达。

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因此，与您的问题有关的第二种情况是“然后，当一个人已经等待了一段时间时到达的可能性增加了”。

根据您的情况，可能需要进行一些调整。有了更多的信息，火车在某一时刻到达的概率$s(t) dt$可能是一个更复杂的函数。

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由StackExchangeStrike撰写

建模等待时间的经典分布是指数分布。

当描述均匀泊松过程中到达时间的长度时，自然会出现指数分布。