概括Dilip Sarwate描述的情况
其他答案中描述的某些方法使用的是您抛出序列的方案n在“转弯”中硬币并根据结果选择1或7之间的数字或放弃转弯并再次投掷。
诀窍是在可能性的扩展中找到7个结果的倍数，它们具有相同的概率pk(1−p)n−k并使它们彼此匹配。
因为结果总数不是7的倍数，所以我们有一些我们无法分配给结果的结果，并且有一定的概率需要丢弃结果并重新开始。
每转使用7次掷硬币的情况
直觉上我们可以说掷骰子七次会非常有趣。因为我们只需要把中的扔掉27可能性。即7次正面和0次正面。
对于所有其他可能性，总有7个盒数相同的磁头。即1头7例，2头21例，3头35例，4头35例，5头21例，6头7例。27−2
因此，如果您计算数字（丢弃0个头和7个头）X=∑k=17(k−1)⋅Ck
如果使用 Bernoulli分布变量（值0或1），则X模7是一个具有七个可能结果的统一变量。Ck
比较每转硬币翻转的次数
问题仍然是每转的最佳滚动数是多少。每转掷更多骰子会花费更多，但会降低不得不再次掷骰的可能性。
下图显示了手动计算每转硬币前几次翻转的次数。（可能有一种分析解决方案，但是我可以肯定地说，具有7个硬币翻转的系统提供了关于必要数量硬币翻转的期望值的最佳方法）
# plot an empty canvas
plot(-100,-100,
xlab="flips per turn",
ylab="E(total flips)",
ylim=c(7,400),xlim=c(0,20),log="y")
title("expectation value for total number of coin flips
(number of turns times flips per turn)")
# loop 1
# different values p from fair to very unfair
# since this is symmetric only from 0 to 0.5 is necessary
# loop 2
# different values for number of flips per turn
# we can only use a multiple of 7 to assign
# so the modulus will have to be discarded
# from this we can calculate the probability that the turn succeeds
# the expected number of flips is
# the flips per turn
# divided by
# the probability for the turn to succeed
for (p in c(0.5,0.2,0.1,0.05)) {
Ecoins <- rep(0,16)
for (dr in (5:20)){
Pdiscards = 0
for (i in c(0:dr)) {
Pdiscards = Pdiscards + p^(i)*(1-p)^(dr-i) * (choose(dr,i) %% 7)
}
Ecoins[dr-4] = dr/(1-Pdiscards)
}
lines(5:20, Ecoins)
points(5:20, Ecoins, pch=21, col="black", bg="white", cex=0.5)
text(5, Ecoins[1], paste0("p = ",p), pos=2)
}
使用提前停止规则
注意：以下计算是针对翻转次数的期望值，对于公平的硬币，对于不同的做到这一点将变得一团糟，但是原理仍然相同（尽管不同的簿记方式案件是必要的）p=0.5p
我们应该可以选择情况（而不是的公式），以便我们可以更早停止。X
通过五次硬币翻转，我们可以得到六种可能的不同的无序的首尾集：
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1有序集
我们可以使用十种情况的组（即具有2个头的组或具有2个尾部的组）来选择（等概率）一个数字。在2 ^ 5 = 32例中有14例发生这种情况。这给我们留下了：
1 + 5 + 3 + 3 + 5 + 1有序集
额外掷出（第6）我们可以得到七种可能的无序的组：
1 + 6 + 8 + 6 + 8 + 6 + 1有序集
我们可以使用八种情况的组（即具有3个头的组或具有3个尾部的组）来选择（等概率）一个数字。2 *（2 ^ 5-14）= 36例中有14例发生这种情况。这给我们留下了：
1 + 6 + 1 + 6 + 1 + 6 + 1有序集
通过另一次（第7次）额外的硬币翻转，我们可以得到八种可能的无序的正面和反面组：
1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 1有序集
我们可以使用具有七个案例（所有尾巴和所有头案例除外）的组来选择（均等概率）一个数字。在44例病例中有42例发生这种情况。这给我们留下了：
1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1有序集
（我们可以继续执行此操作，但只有在第49步中才能使我们受益）
所以选择一个数字的可能性
- 每5次翻转是1432=716
- 每6次翻转为9161436=732
- 每7次翻转是11324244=231704
- 不是7次翻转是1−716−732−231704=227
这使一轮翻转次数的期望值为条件，条件是成功且p = 0.5：
5⋅716+6⋅732+7⋅231704=5.796875
在p = 0.5的条件下，翻转总数的期望值（直到成功）：
(5⋅716+6⋅732+7⋅231704)2727−2=539=5.88889
NcAdams的答案使用了该停止规则策略的一种变体（每次都提供两个新的硬币翻转），但并不是最佳地选择所有翻转。
Clid的答案也可能相似，尽管可能会有不规则的选择规则，即每两个硬币翻转可能会选择一个数字，但不一定具有相等的概率（差异会在以后的硬币翻转中得到修复）
与其他方法的比较
使用类似原理的其他方法是NcAdams和AdamO的方法。
原理是：在确定一定数量的首尾之后，才决定1到7之间的数字。在翻过次后，对于得出每个决策，都有一个类似的，同样可能的决策导致（相同的前额和尾数，但顺序不同）。某些前后关系可能导致重新开始的决定。xij
对于这种类型的方法，此处放置的方法是最有效的，因为它会尽早做出决定（一旦有第7个相等的概率的前后序列，在第翻转后，我们可以使用他们决定一个数字，如果遇到其中一种情况，我们就无需进一步处理了）。x
下面的图像和仿真对此进行了演示：
#### mathematical part #####
set.seed(1)
#plotting this method
p <- seq(0.001,0.999,0.001)
tot <- (5*7*(p^2*(1-p)^3+p^3*(1-p)^2)+
6*7*(p^2*(1-p)^4+p^4*(1-p)^2)+
7*7*(p^1*(1-p)^6+p^2*(1-p)^5+p^3*(1-p)^4+p^4*(1-p)^3+p^5*(1-p)^2+p^6*(1-p)^1)+
7*1*(0+p^7+(1-p)^7) )/
(1-p^7-(1-p)^7)
plot(p,tot,type="l",log="y",
xlab="p",
ylab="expactation value number of flips"
)
#plotting method by AdamO
tot <- (7*(p^20-20*p^19+189*p^18-1121*p^17+4674*p^16-14536*p^15+34900*p^14-66014*p^13+99426*p^12-119573*p^11+114257*p^10-85514*p^9+48750*p^8-20100*p^7+5400*p^6-720*p^5)+6*
(-7*p^21+140*p^20-1323*p^19+7847*p^18-32718*p^17+101752*p^16-244307*p^15+462196*p^14-696612*p^13+839468*p^12-806260*p^11+610617*p^10-357343*p^9+156100*p^8-47950*p^7+9240*p^6-840*p^5)+5*
(21*p^22-420*p^21+3969*p^20-23541*p^19+98154*p^18-305277*p^17+733257*p^16-1389066*p^15+2100987*p^14-2552529*p^13+2493624*p^12-1952475*p^11+1215900*p^10-594216*p^9+222600*p^8-61068*p^7+11088*p^6-1008*p^5)+4*(-
35*p^23+700*p^22-6615*p^21+39235*p^20-163625*p^19+509425*p^18-1227345*p^17+2341955*p^16-3595725*p^15+4493195*p^14-4609675*p^13+3907820*p^12-2745610*p^11+1592640*p^10-750855*p^9+278250*p^8-76335*p^7+13860*p^6-
1260*p^5)+3*(35*p^24-700*p^23+6615*p^22-39270*p^21+164325*p^20-515935*p^19+1264725*p^18-2490320*p^17+4027555*p^16-5447470*p^15+6245645*p^14-6113275*p^13+5102720*p^12-3597370*p^11+2105880*p^10-999180*p^9+371000
*p^8-101780*p^7+18480*p^6-1680*p^5)+2*(-21*p^25+420*p^24-3990*p^23+24024*p^22-103362*p^21+340221*p^20-896679*p^19+1954827*p^18-3604755*p^17+5695179*p^16-7742301*p^15+9038379*p^14-9009357*p^13+7608720*p^12-
5390385*p^11+3158820*p^10-1498770*p^9+556500*p^8-152670*p^7+27720*p^6-2520*p^5))/(7*p^27-147*p^26+1505*p^25-10073*p^24+49777*p^23-193781*p^22+616532*p^21-1636082*p^20+3660762*p^19-6946380*p^18+11213888*p^17-
15426950*p^16+18087244*p^15-18037012*p^14+15224160*p^13-10781610*p^12+6317640*p^11-2997540*p^10+1113000*p^9-305340*p^8+55440*p^7-5040*p^6)
lines(p,tot,col=2,lty=2)
#plotting method by NcAdam
lines(p,3*8/7/(p*(1-p)),col=3,lty=2)
legend(0.2,500,
c("this method calculation","AdamO","NcAdams","this method simulation"),
lty=c(1,2,2,0),pch=c(NA,NA,NA,1),col=c(1,2,3,1))
##### simulation part ######
#creating decision table
mat<-matrix(as.numeric(intToBits(c(0:(2^5-1)))),2^5,byrow=1)[,c(1:12)]
colnames(mat) <- c("b1","b2","b3","b4","b5","b6","b7","sum5","sum6","sum7","decision","exit")
# first 5 rolls
mat[,8] <- sapply(c(1:2^5), FUN = function(x) {sum(mat[x,1:5])})
mat[which((mat[,8]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(5,7) # we can stop for 7 cases with 2 heads
mat[which((mat[,8]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
mat[which((mat[,8]==3)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(5,7) # we can stop for 7 cases with 3 heads
mat[which((mat[,8]==3)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
# extra 6th roll
mat <- rbind(mat,mat)
mat[c(33:64),6] <- rep(1,32)
mat[,9] <- sapply(c(1:2^6), FUN = function(x) {sum(mat[x,1:6])})
mat[which((mat[,9]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(6,7) # we can stop for 7 cases with 2 heads
mat[which((mat[,9]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
mat[which((mat[,9]==4)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(6,7) # we can stop for 7 cases with 4 heads
mat[which((mat[,9]==4)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
# extra 7th roll
mat <- rbind(mat,mat)
mat[c(65:128),7] <- rep(1,64)
mat[,10] <- sapply(c(1:2^7), FUN = function(x) {sum(mat[x,1:7])})
for (i in 1:6) {
mat[which((mat[,10]==i)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(7,7) # we can stop for 7 cases with i heads
mat[which((mat[,10]==i)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
}
mat[1,12] = 7 # when we did not have succes we still need to count the 7 coin tosses
mat[2^7,12] = 7
draws = rep(0,100)
num = rep(0,100)
# plotting simulation
for (p in seq(0.05,0.95,0.05)) {
n <- rep(0,1000)
for (i in 1:1000) {
coinflips <- rbinom(7,1,p) # draw seven numbers
I <- mat[,1:7]-matrix(rep(coinflips,2^7),2^7,byrow=1) == rep(0,7) # compare with the table
Imatch = I[,1]*I[,2]*I[,3]*I[,4]*I[,5]*I[,6]*I[,7] # compare with the table
draws[i] <- mat[which(Imatch==1),11] # result which number
num[i] <- mat[which(Imatch==1),12] # result how long it took
}
Nturn <- mean(num) #how many flips we made
Sturn <- (1000-sum(draws==0))/1000 #how many numbers we got (relatively)
points(p,Nturn/Sturn)
}
为了更好的比较，用缩放的另一个图像：p∗(1−p)
放大本文和评论中描述的比较方法
“第7步有条件跳过”是可以在早期停止规则上进行的轻微改进。在这种情况下，在第6次翻转之后，您不会选择概率相同的组。您有6个具有相等概率的组，而1个具有稍微不同的概率的组（对于最后一组，当您有6个正面或反面时，您需要再翻转一次额外的时间，并且由于您丢弃了7个正面或7个反面，您将结束毕竟具有相同的概率）
由StackExchangeStrike撰写
