给定的概率是多少？

假设 $X$ 和 $Y$ 是均值 $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ 且协方差 $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ 。的概率是 $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$ 多少？

probability normal-distribution conditional-probability

— 麦克风
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@whuber对，谢谢，删除了我的想法，因为他们在这里没有添加任何内容。

— AdamO

\frac{P r (m < Y | X = m)}{P r (m < Y | X = m) + P r (m < X | Y = m)}

$\frac{Pr(m<Y|X=m)}{Pr(m<Y|X=m)+Pr(m<X|Y=m)}$

— Sextus Empiricus

有用的链接stats.stackexchange.com/questions/30588/… 这是一个自学问题吗？

— Sextus Empiricus

无论这个问题看起来像是一个自学式的问题，您都应该发表自己的想法。

— StubbornAtom

Answers:

使用稍微更明确的符号，其中是实数，而不是随机变量。的集合是具有两个半开段的L形路径：一个从点笔直向上，另一个从同一点笔直向右侧。很明显，在垂直方向上，在水平方向上。 $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$ $m$ $\min(X,Y) = m$ $(m,m)$ $x<y$ $x>y$

有了这种几何直觉，就很容易用等价形式重写问题，在分子中，只有的垂直分支，在分母中，只有两个分支的总和。 $x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

因此，现在我们需要计算两个形式为表达式。二元正态分布的这种条件概率始终具有正态分布，其参数为： $P(m<X|Y=m)$ $\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

请注意，在原始问题定义中，指协方差矩阵的元素，这与使用作为标准差的更常见的约定相反。下面，我们发现使用表示方差，使用表示条件概率分布的标准偏差更为方便。 $\sigma_{ij}$ $\sigma$ $s^2$ $s$

知道了这两个参数，我们可以从累积分布函数计算出的概率。 $m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

经过必要的修改，我们对具有相似的表达式。让 $P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

和

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

然后，我们可以根据这两个分数紧凑地编写完整的解决方案： $z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

根据问题作者提供的仿真代码，我们可以将此理论结果与仿真结果进行比较：

— 孤独
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在（3）中，我认为左手边应该有一个正方形，因为这是条件方差，而稍后使用标准差。

— 伊夫

@Yves您说得很对，我相信我最近的修改已解决了该问题。谢谢。

— olooney

@olooney，谢谢您的答复。我可以遵循推导，这似乎是正确的。但是，我尝试在仿真中验证（1）和（7），结果却大不相同。您可以在这里看到我的R代码gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961

— mike

@mike，我想我有签名错误。解决此问题后，理论结果似乎与仿真结果一致。 gist.github.com/olooney/e88a66d2d2fa7f2f0cd0d0dd6b708739

— olooney '18

@olooney，好收获。我仍然无法理解为什么两个基于模拟的估算值不匹配（我的代码中的30-32行）。

— mike

可以使用贝叶斯定理的修改版本来重写问题（并且滥用的概念） $Pr$

\begin{aligned} P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) & = \frac{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y)}{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y) + P r (m i n (X, Y) = m | X \geq Y) P r (X \geq Y)} \\ = \frac{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m)}{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) + P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m)} . \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$

将定义为和的二元PDF ，和。然后 $f_{X,Y}$ $X$ $Y$ $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

\begin{aligned} P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X = m, Y > m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (m, t) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$

和

\begin{aligned} P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X \geq m, Y = m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (t, m) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$

使用正态性和条件概率的定义，可将被积数重写为

f_{X, Y} (m, t) = f_{Y | X} (t) f_{X} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{Y | X}}} ϕ (\frac{t - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})

$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$

和

f_{X, Y} (t, m) = f_{X | Y} (t) f_{Y} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{X | Y}}} ϕ (\frac{t - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}}) .

$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$

其中

μ_{X | Y} = μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (m - μ_{2}),

$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$

μ_{Y | X} = μ_{2} + \frac{σ_{12}}{σ_{11}} (m - μ_{1}),

$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$

σ_{X | Y} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{11}

$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$

和

σ_{Y | X} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{22} .

$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$

从而

P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) = \frac{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})}{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}}) + (1 - Φ (\frac{m - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}})} .

$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$

最终形式与@olooney到达的结果非常相似。区别在于他的概率不由正常密度加权。

可以在此处找到用于数字验证的R脚本

— 麦克风
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